Aralarında Asal Sayılar

Bu interaktif sayfa ile “Aralarında Asal Sayılar” konusunu eğlenceli bir şekilde öğreneceksiniz.

💡 Biliyor muydunuz?

Aralarında asallık kavramı, modern kriptolojide (şifreleme bilimi) kullanılan RSA gibi algoritmaların temelini oluşturur!

1. Aralarında Asal Sayı Nedir?

❗ İki veya daha fazla pozitif tam sayının 1’den başka ortak böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir.

Örnek: 8 ve 9 Aralarında Asal mıdır?

  • 8’in bölenleri: {1, 2, 4, 8}
  • 9’un bölenleri: {1, 3, 9}

Gördüğümüz gibi 1’den başka ortak bölenleri yoktur. O halde 8 ve 9 aralarında asaldır.

⚠️ **Unutma:** Sayıların aralarında asal olması için kendilerinin asal olması gerekmez! (Örnekte 8 ve 9 asal değildir.)

2. ⚠️ Önemli Kurallar ve İnteraktif Araç

  • Ardışık sayılar daima aralarında asaldır. (Örnek: 7 ile 8, 20 ile 21)
  • Ardışık tek sayılar daima aralarında asaldır. (Örnek: 13 ile 15)
  • Farklı asal sayılar daima aralarında asaldır. (Örnek: 5 ile 11)
  • 1 ile bütün pozitif tam sayılar aralarında asaldır. (Örnek: 1 ile 100)
  • 0 (sıfır) 1 hariç hiçbir pozitif tam sayı ile arasında asal değildir. Çünkü 0 hariç tüm pozitif tam sayılar 0’ı kalansız böler.
  • Aralarında asal sayıların EBOB’u 1‘dir.
  • Aralarında asal sayıların EKOK’u sayıların çarpımına eşittir.

Alıştırma Soruları

Soru 1: Aralarında asal iki sayının EBOB’u ile EKOK’unun toplamı 61’dir. Sayılardan biri 4 ise diğer sayı kaçtır?

Çözüm: Aralarında asal sayıların EBOB’u 1’dir. EKOK’u ise sayıların çarpımıdır.
EBOB + EKOK = 61 ise 1 + EKOK = 61, yani EKOK = 60’tır.
EKOK aynı zamanda sayıların çarpımı olduğu için, 4 . x = 60 denklemini kurarız. Buradan x = 15 bulunur.



Soru 2: 15 ile 2A iki basamaklı sayısı aralarında asaldır. Buna göre A yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır?

Çözüm: 15’in asal çarpanları 3 ve 5’tir. 2A sayısının 15 ile aralarında asal olması için 3’e ve 5’e bölünmemesi gerekir.
5’e bölünmemesi için A rakamı 0 veya 5 olamaz.
3’e bölünmemesi için rakamları toplamı (2+A) 3’ün katı olmamalıdır. A=1 (2+1=3), A=4 (2+4=6), A=7 (2+7=9) olamaz.
Geriye kalan rakamlar: 2, 3, 6, 8, 9. Toplamları: 2+3+6+8+9 = 28’dir.

Sıra Sende: Aralarında Asal mı?

Geçmiş Yıllarda Çıkmış Soru Tipleri (LGS Benzeri)

Soru 1: Kurala Dayalı Soru

a + 2 ve b – 3 sayıları aralarında asaldır. Eğer (a + 2) / (b - 3) = 20 / 28 ise, a + b kaçtır?

Çözüm: 20/28 kesrini en sade haline getirmeliyiz, çünkü a+2 ve b-3 aralarında asal. 20/28 = 5/7. Şimdi 5 ve 7 aralarında asaldır.
a + 2 = 5 => a = 3
b – 3 = 7 => b = 10
a + b = 3 + 10 = 13. Doğru Cevap: 13

Soru 2: Şifreleme Problemi

Bir kasanın şifresi, iki basamaklı en küçük asal sayı ile iki basamaklı en büyük asal sayının aralarında asal olup olmadığına göre belirleniyor. Eğer sayılar aralarında asalsa şifre “1”, değilse “0” oluyor. Bu kasanın şifresi kaçtır?

Çözüm: İki basamaklı en küçük asal sayı 11’dir. İki basamaklı en büyük asal sayı 97’dir. İki farklı asal sayı daima aralarında asaldır. Bu yüzden şifre “1” olur. Doğru Cevap: 1

Soru 3: Aralık ve Koşul Problemi

Ahmet’in aklından tuttuğu iki basamaklı sayı, 15 ile aralarında asaldır fakat kendisi asal sayı değildir. Buna göre Ahmet’in aklından tuttuğu sayı en fazla kaç olabilir?

Çözüm: Sayı 15 ile aralarında asalsa, 3’e ve 5’e bölünemez. En büyük iki basamaklı sayılardan geriye doğru gidelim:
99 (3’e bölünür), 98 (asal değil, 3’e ve 5’e bölünmez), 97 (asal), 96 (3’e bölünür), 95 (5’e bölünür), 94 (asal değil, 3’e ve 5’e bölünmez)…
Koşulları sağlayan en büyük sayı 98’dir. Doğru Cevap: 98

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!