1. Ünite: Çarpanlar ve Katlar

Pozitif Tam Sayıların Çarpanları (Bölenleri)

Bir sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılara o sayının çarpanları (veya bölenleri) denir.

• Örnek: 24’ün çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
• Asal Çarpan: Bir sayının çarpanlarından asal olanlardır. 24’ün asal çarpanları 2 ve 3’tür.
• Asal Çarpan Algoritması: Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak böleriz.
  • Örnek: 60 = 2² · 3¹ · 5¹

1. Ünite: Çarpanlar ve Katlar

EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

İki veya daha fazla sayıyı ortak bölen en büyük sayıdır.

• Nasıl Bulunur? Sayıların asal çarpanlarından, ortak olanların üssü en küçük olanları alınır ve çarpılır.
• Problem Tipi: Genellikle “parçalama”, “bölüştürme”, “şişeleri/çuvaları ayırma”, “bahçe etrafına eşit aralıkla ağaç dikme” gibi bütünden parçaya giden sorularda kullanılır.
• Örnek: EBOB(36, 48) = 12

1. Ünite: Çarpanlar ve Katlar

EKOK (En Küçük Ortak Kat)

İki veya daha fazla sayının ortak katı olan en küçük sayıdır.

• Nasıl Bulunur? Sayıların asal çarpanlarından, ortak olanların üssü en büyük olanları ve ortak olmayanların tamamı alınır ve çarpılır.
• Problem Tipi: Genellikle “zillerin birlikte çalması”, “nöbetlerin aynı güne denk gelmesi” gibi parçadan bütüne giden, birleşme ve katları içeren sorularda kullanılır.
• Örnek: EKOK(36, 48) = 144

1. Ünite: Çarpanlar ve Katlar

Altın Kural: İki sayı (A ve B) için: A · B = EBOB(A, B) · EKOK(A, B)

Aralarında Asal Sayılar

1’den başka ortak böleni olmayan sayılardır.

• Örnek: 8 ve 15 (İkisi de asal değil ama aralarında asallar).
• EBOB’ları daima 1‘dir.
• EKOK’ları daima bu sayıların çarpımıdır.

2. Ünite: Üslü İfadeler

Tam Sayıların Kuvvetleri

• Pozitif Kuvvet: aⁿ = a · a · … · a (n tane)
• Negatif Kuvvet: Sayının çarpma işlemine göre tersini alır (sayıyı “takla attırır”).
  • a^-n = 1/aⁿ (Örn: 3^-2 = 1/9)
• Sıfırıncı Kuvvet: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir (a⁰ = 1).

Parantez Uyarısı: Parantez her şeydir!

• (-3)² = +9 (Kuvvet çift, sonuç pozitif)
• -3² = -9 (Kuvvet sadece 3’ün üzerinde)
• (-3)³ = -27 (Kuvvet tek, sonuç negatif)

2. Ünite: Üslü İfadeler

Üslü İfadelerle İşlemler

• Çarpma:
  • Tabanlar aynıysa üstler toplanır: a^m · aⁿ = a^m+n
  • Üstler aynıysa tabanlar çarpılır: a^m · b^m = (a · b)^m
• Bölme:
  • Tabanlar aynıysa üstler çıkarılır: a^m / aⁿ = a^m-n
  • Üstler aynıysa tabanlar bölünür: a^m / b^m = (a/b)^m
• Üssün Üssü: Üstler çarpılır: (a^m)ⁿ = a^{m · n}

2. Ünite: Üslü İfadeler

10’un Kuvvetleri ile Çok Büyük ve Çok Küçük Sayılar

Çok Büyük Sayılar (Pozitif Kuvvet)

10ⁿ gösteriminde, n (pozitifse) sayının sonundaki sıfır adedini verir. (Örn: 42 × 10⁷ = 420.000.000)

Çok Küçük Sayılar (Negatif Kuvvet)

10^-n gösteriminde, n virgülden sonraki toplam basamak sayısını verir. (Örn: 7 × 10^-5 = 0.00007)

Gösterimler Arası Dönüşüm (Katsayı-Üs Dengesi)

Bir sayıyı a × 10n şeklinde yazarken katsayı ile üs arasında ters orantı vardır.

• Katsayı küçülürse (virgül sola kayarsa), üs artar.
• Katsayı büyürse (virgül sağa kayarsa), üs azalır.

2. Ünite: Üslü İfadeler

Ondalık Çözümleme

Bir sayıyı, rakamlarının basamak değerleri toplamı şeklinde 10’un kuvvetlerini kullanarak yazmaktır.

Örnek: 307.45 = (3 × 10²) + (7 × 10⁰) + (4 × 10^-1) + (5 × 10^-2)

Sayıların Basamak Sayısını Bulma

a × 10n ifadesini, ‘a’ bir tam sayı olacak şekilde düzenle.

Toplam basamak sayısı = (a’nın basamak sayısı) + n

Örnek: 3.15 × 10⁸

→ 315 × 10⁶ (a=315, n=6)

→ (315’in basamak sayısı) + 6

→ 3 + 6 = 9 basamaklıdır.

2. Ünite: Üslü İfadeler

Bilimsel Gösterim

Sayıyı a × 10n şeklinde yazmaktır.

Önemli Kural: ‘a’ katsayısı 1 ≤ |a| < 10 arasında olmalıdır. (Yani 1 ile 10 arasında, 1 olabilir ama 10 olamaz).

• 54.000.000 = 5.4 × 10⁷
• 0.00021 = 2.1 × 10^-4

3. Ünite: Kareköklü İfadeler

Tam Kare Sayılar ve Karekök Alma

• Tam Kare Sayılar: Bir tam sayının karesi olan sayılardır (1, 4, 9, 16, 25…).
• Karekök (√…): Bir sayının “hangi sayının karesi” olduğunu bulmaktır.
• √81 = 9 (Çünkü 9² = 81)

Kritik Bilgi: Kök içi asla negatif olamaz. √-25 tanımsızdır.

Karekök Değerini Tahmin Etme

√30’u tahmin edelim:

1. En yakın tam kareler: 25 ve 36.
2. √25 < √30 < √36
3. 5 < √30 < 6 (5 ile 6 arasındadır).

3. Ünite: Kareköklü İfadeler

a√b Şeklinde Yazma ve Katsayıyı Kök İçine Alma

Kök Dışına Çıkarma (a√b)

Kök içindeki sayı, çarpanlarından biri tam kare olacak şekilde ayrılır. Tam kare olan dışarı çıkar.

• √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2
• √72 = √(36 · 2) = 6√2

Katsayıyı Kök İçine Alma

Dışarıdaki katsayı, karesi alınarak kök içindeki sayıyla çarpılır.

• 4√3 = √(4² · 3) = √(16 · 3) = √48
• 5√2 = √(5² · 2) = √(25 · 2) = √50

3. Ünite: Kareköklü İfadeler

Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme

Çarpma

Katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında çarpılır.

• (a√b) · (c√d) = (a · c)√(b · d)
• Örnek: (3√2) · (5√7) = 15√14
• Örnek: √5 · √5 = √25 = 5 (Kökü kendisiyle çarpmak kökü kaldırır)

Bölme

Katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında bölünür.

• (a√b) / (c√d) = (a/c)√(b/d)
• Örnek: (10√20) / (2√5) = 5√4 = 5 · 2 = 10

3. Ünite: Kareköklü İfadeler

Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma

Altın Kural: Sadece ve sadece kök içleri aynı olan kareköklü ifadeler toplanıp çıkarılabilir.

• a√b + c√b = (a+c)√b (Elma toplamak gibi: 3x + 5x = 8x)
• Örnek: 7√3 + 4√3 = (7+4)√3 = 11√3
• Örnek: 10√5 – 6√5 = (10-6)√5 = 4√5

En Sık Yapılan Hata (SAKIN YAPMA): √A + √B ≠ √(A+B)

(√9 + √16 = 3 + 4 = 7 // √(9+16) = √25 = 5)

Kök İçleri Farklıysa?

Önce a√b şeklinde yazarak kök içlerinin aynı olup olmayacağına bakarız.

• Örnek: √12 + √75 = ?
• √12 = √(4 · 3) = 2√3
• √75 = √(25 · 3) = 5√3
• Sonuç: 2√3 + 5√3 = (2+5)√3 = 7√3