Özdeşlikler-İki Kare Farkı-Toplam ve Fark

Cebirsel İfadeler ve Önemli Özdeşlikler

Bu interaktif sayfa ile denklem ve özdeşlik arasındaki farkı, en önemli üç özdeşliği ve bu özdeşliklerin kullanım alanlarını öğreneceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

İki kare farkı özdeşliği (\(a^2-b^2\)), büyük sayıların karelerini zihinden hesaplamada bir kısayol olarak kullanılabilir. Örneğin, \(41^2 – 39^2 = (41-39)(41+39) = 2 \cdot 80 = 160\). Çok daha kolay, değil mi?

1. Özdeşlik Nedir? Denklemden Farkı Ne?

❗ İçindeki değişkene (harfe) hangi gerçek sayıyı verirsen ver, eşitliğin her zaman sağlandığı ifadelere özdeşlik denir. Eğer eşitlik sadece bazı değerler için sağlanıyorsa ona denklem denir.

  • Özdeşlik: \(2(x+3) = 2x+6\). Burada x yerine ne yazarsan yaz, eşitlik bozulmaz.
  • Denklem: \(2(x+3) = 10\). Burada eşitlik sadece \(x=2\) için doğrudur.

Alıştırma Sorusu

\(5x – 5 = 5(x-1)\) ifadesi bir özdeşlik midir, yoksa denklem midir? Neden?

Çözüm:
Bu bir özdeşliktir. Çünkü eşitliğin sağ tarafındaki 5’i paranteze dağıttığımızda \(5 \cdot x – 5 \cdot 1 = 5x-5\) elde ederiz. Eşitliğin iki tarafı birbirinin aynısı olduğu için, x yerine hangi sayıyı koyarsak koyalım sonuç her zaman doğru çıkacaktır.

2. En Sık Kullanılan 3 Önemli Özdeşlik

Bu üç özdeşlik, matematiğin temel taşlarındandır ve LGS’de sıkça karşına çıkar!

İki Terimin Toplamının Karesi

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Açıklama: Birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı ve ikincinin karesinin toplamıdır.

Örnek: \((x+4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16\)

İki Terimin Farkının Karesi

\((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)

Açıklama: Birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katının eksiği ve ikincinin karesinin toplamıdır.

Örnek: \((2y-3)^2 = (2y)^2 – 2 \cdot 2y \cdot 3 + 3^2 = 4y^2 – 12y + 9\)

İki Kare Farkı Özdeşliği

\(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\)

Açıklama: İki sayının karelerinin farkı, bu sayıların farkı ile toplamının çarpımına eşittir.

Örnek: \(x^2 – 49 = x^2 – 7^2 = (x-7)(x+7)\)

Alıştırma Sorusu

\(101^2\) işleminin sonucunu iki terimin toplamının karesi özdeşliğini kullanarak hesaplayınız.

Çözüm:
1. \(101\)’i \((100+1)\) olarak yazalım.
2. Özdeşliği uygulayalım: \((100+1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2\)
3. Hesaplayalım: \(= 10000 + 200 + 1 = 10201\)
Sonuç: 10201

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Alan Farkından Kenar Bulma

Alanı \(9x^2\) cm² olan kare şeklindeki bir kartondan, alanı 16 cm² olan kare şeklinde bir parça kesilip çıkarılıyor. Kalan parçanın çevre uzunluğunu santimetre cinsinden veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) \(12x + 16\)    B) \(12x\)    C) \(6x + 14\)    D) \(12x – 16\)

Çözüm:
1. Büyük Karenin Kenarı: Alanı \(9x^2\) ise kenarı \(\sqrt{9x^2} = 3x\)’tir.
2. Küçük Karenin Kenarı: Alanı 16 ise kenarı \(\sqrt{16} = 4\)’tür.
3. Şekli hayal edelim: Büyük karenin bir köşesinden küçük kare kesildiğinde, çevreden iki kenar eksilirken, yerine iki yeni kenar gelir. Yani çevre değişmez.
4. Kalan Şeklin Çevresi = Büyük Karenin Çevresi: \(4 \cdot (3x) = 12x\)
Not: Eğer kesilen parça kenardan çıkarılsaydı çevre artardı, ancak soruda köşeden çıkarıldığı varsayılır.
Doğru Cevap: B

LGS Benzeri Soru 2: Değer Bulma

\(x-y=6\) ve \(x \cdot y = 7\) olduğuna göre, \(x^2+y^2\) ifadesinin değeri kaçtır?

A) 22    B) 36    C) 43    D) 50

Çözüm:
1. Bu soruda iki terimin farkının karesi özdeşliğini kullanmalıyız: \((x-y)^2 = x^2 – 2xy + y^2\).
2. Verilen değerleri bu özdeşlikte yerine yazalım:
\((6)^2 = x^2 – 2(7) + y^2\)
3. Denklemi düzenleyelim: \(36 = (x^2 + y^2) – 14\)
4. \(-14\)’ü eşitliğin diğer tarafına atalım: \(36 + 14 = x^2 + y^2\)
5. \(50 = x^2 + y^2\)
Doğru Cevap: D

Bursluluk Benzeri Soru 1: Özdeşlik Tespiti

\(25x^2 – 49y^2\) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) \((5x – 7y)^2\)
B) \((5x + 7y)^2\)
C) \((25x – 49y)(25x + 49y)\)
D) \((5x – 7y)(5x + 7y)\)

Çözüm:
Bu ifade, iki kare farkı özdeşliğinin (\(a^2-b^2\)) bir uygulamasıdır.
1. Terimlerin kareköklerini bulalım: \(a^2 = 25x^2 \implies a = 5x\) ve \(b^2 = 49y^2 \implies b = 7y\).
2. Özdeşlik formülünü uygulayalım: \((a-b)(a+b) = (5x-7y)(5x+7y)\)
Doğru Cevap: D

Bursluluk Benzeri Soru 2: Açılımda Terim Bulma

\((3a + 5)^2\) özdeşliğinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir?

A) \(15a\)    B) \(30a\)    C) \(25\)    D) \(9a^2\)

Çözüm:
İki terimin toplamının karesi özdeşliği \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) şeklindedir. Ortadaki terim \(2ab\)’dir.
1. Birinci terim: \(3a\), İkinci terim: 5
2. Ortadaki terimi hesaplayalım: \(2 \cdot (3a) \cdot (5) = 30a\)
Doğru Cevap: B

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!


Online Özdeşlikler Testini Çöz*



8.Sınıf Cebirsel İfadeler

Cebirsel İfadeler ve Çarpma İşlemi

Bu interaktif sayfa ile cebirsel ifadelerin temel kavramlarını ve ifadelerle çarpma işleminin nasıl yapıldığını öğreneceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

“Cebir” kelimesi, 9. yüzyılda yaşamış Fars matematikçi Hârizmî’nin “El-Kitab’ul-Muhtasar fi Hısab’il Cebri ve’l-Mukabele” adlı eserinden gelmektedir. Bu eser, bugünkü modern cebirin temelini atmıştır!

1. Cebirsel İfadelerin Yapı Taşları

Cebirsel ifadeleri anlamak için önce temel terimleri bilmeliyiz.

  • Değişken (Bilinmeyen): Bir cebirsel ifadede sayıları temsil eden harflerdir (x, y, a, b gibi).
  • Terim: Bir cebirsel ifadede ‘+’ veya ‘-‘ işaretleriyle ayrılan her bir parçadır. Örnek: \(5x + 2y – 7\) ifadesinin terimleri \(5x\), \(+2y\) ve \(-7\)’dir.
  • Katsayı: Terimlerin başındaki sayılardır. Örnek: \(5x\)’in katsayısı 5, \(-7\)’nin katsayısı -7’dir.
  • Sabit Terim: İçinde değişken bulunmayan terimdir. Örnek: \(5x + 2y – 7\) ifadesinin sabit terimi \(-7\)’dir.

Alıştırma Sorusu

\(4a^2 – 3b + a – 9\) cebirsel ifadesinin terimlerini, katsayılarını ve sabit terimini bulunuz.

Çözüm:

  • Terimler: \(4a^2\), \(-3b\), \(+a\), \(-9\)
  • Katsayılar: 4, -3, 1, -9 (a’nın katsayısı 1’dir)
  • Sabit Terim: -9

2. Cebirsel İfadelerde Çarpma İşlemi

❗ Cebirsel ifadelerle çarpma yaparken, dağılma özelliğini kullanırız. Yani bir ifadedeki her terimi, diğer ifadedeki her terimle tek tek çarparız.

Çarpma Çeşitleri

  • Tek Terimli x Tek Terimli: Katsayılar kendi arasında, değişkenler kendi arasında çarpılır.
    Örnek: \((3x) \cdot (5x) = (3 \cdot 5) \cdot (x \cdot x) = 15x^2\)
  • Tek Terimli x Çok Terimli: Tek terim, diğer ifadedeki her terimle ayrı ayrı çarpılır.
    Örnek: \(5 \cdot (7x+2y) = (5 \cdot 7x) + (5 \cdot 2y) = 35x + 10y\)
  • Çok Terimli x Çok Terimli: Birinci ifadedeki her terim, ikinci ifadedeki her terimle ayrı ayrı çarpılır. Sonra benzer terimler toplanır.
    Örnek: \((2x+3) \cdot (4x+1) = 8x^2 + 2x + 12x + 3 = 8x^2 + 14x + 3\)

Alıştırma Sorusu

\((x-4) \cdot (x+5)\) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:
1. Dağılma özelliğini uygulayalım:
\(= (x \cdot x) + (x \cdot 5) + (-4 \cdot x) + (-4 \cdot 5)\)
\(= x^2 + 5x – 4x – 20\)
2. Benzer terimleri (5x ve -4x) birleştirelim:
\(= x^2 + x – 20\)
Sonuç: \(x^2 + x – 20\)

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Geometrik Modelleme

Kenar uzunluğu \((2x+5)\) cm olan kare şeklindeki bir kartonun köşelerinden, bir kenar uzunluğu 3 cm olan dört eş kare kesilip çıkarılıyor. Kalan parçanın alanını santimetrekare cinsinden veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) \(4x^2 + 20x + 25\)    B) \(4x^2 + 20x – 11\)    C) \(4x^2 + 20x + 16\)    D) \(4x^2 + 20x – 36\)

Çözüm:
1. Büyük Karenin Alanı: \((2x+5)^2 = (2x+5) \cdot (2x+5) = 4x^2 + 10x + 10x + 25 = 4x^2 + 20x + 25\)
2. Kesilen Bir Küçük Karenin Alanı: \(3 \cdot 3 = 9\) cm²
3. Kesilen Dört Karenin Toplam Alanı: \(4 \cdot 9 = 36\) cm²
4. Kalan Alan: (Büyük Alan) – (Kesilen Alan) = \((4x^2 + 20x + 25) – 36 = 4x^2 + 20x – 11\)
Doğru Cevap: B

LGS Benzeri Soru 2: Bilinmeyeni Bulma

\((3x – a) \cdot (2x + 1) = 6x^2 – 7x – 5\) eşitliğinin doğru olması için ‘a’ yerine hangi sayı gelmelidir?

A) 2    B) 3    C) 4    D) 5

Çözüm:
1. Sol taraftaki çarpma işlemini yapalım:
\((3x – a) \cdot (2x + 1) = (3x \cdot 2x) + (3x \cdot 1) + (-a \cdot 2x) + (-a \cdot 1)\)
\(= 6x^2 + 3x – 2ax – a\)
2. Benzer terimleri gruplayalım: \(6x^2 + (3 – 2a)x – a\)
3. Bu ifadeyi eşitliğin sağ tarafındaki \(6x^2 – 7x – 5\) ile karşılaştıralım.
Sabit terimler eşit olmalıdır: \(-a = -5 \implies a = 5\)
x’li terimlerin katsayıları da eşit olmalıdır (kontrol edelim): \(3 – 2a = 3 – 2(5) = 3 – 10 = -7\). Bu da sağlandı.
Doğru Cevap: D

Bursluluk Benzeri Soru 1: Katsayılar Toplamı

\(7x^2 – 4xy + y^2 – x + 8\) cebirsel ifadesinin katsayılar toplamı kaçtır?

A) 10    B) 11    C) 19    D) 20

Çözüm:
İfadedeki her terimin katsayısını (işaretiyle birlikte) yazıp toplayalım:
\(7x^2 \rightarrow +7\)
\(-4xy \rightarrow -4\)
\(+y^2 \rightarrow +1\)
\(-x \rightarrow -1\)
\(+8 \rightarrow +8\) (Sabit terim de bir katsayıdır)
Toplam = \(7 + (-4) + 1 + (-1) + 8 = 3 + 0 + 8 = 11\)
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 2: Çarpma İşlemi

\(-4x \cdot (2x – 3y)\) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) \(-8x^2 – 12xy\)    B) \(-8x^2 + 12xy\)    C) \(8x^2 – 12xy\)    D) \(-2x + 3y\)

Çözüm:
Dağılma özelliğini kullanarak \(-4x\)’i parantez içindeki her terimle çarpalım:
\(= (-4x \cdot 2x) + (-4x \cdot -3y)\)
\(= -8x^2 + 12xy\)
Doğru Cevap: B

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!


Tıkla Online Cebirsel İfadeler Testini Çöz



Basit Olayların Olma Olasılığı-Olasılık

Basit Olayların Olma Olasılığı

Bu interaktif sayfa ile olasılığın temel kavramlarını, olay çeşitlerini ve basit olayların olma olasılığını nasıl hesaplayacağını öğreneceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

Olasılık teorisi, 17. yüzyılda şans oyunlarındaki kazanma ihtimallerini hesaplamak isteyen matematikçiler tarafından geliştirilmiştir. Bugün ise finanstan hava tahminlerine kadar her alanda kullanılıyor!

1. Olasılık İle İlgili Temel Terimler

Bir zar atma deneyini düşünelim. 🎲

  • Deney: Bir olayın sonucunu görmek için yapılan işlemdir. (Örnek: Zarı atmak)
  • Çıktı: Bir deneyde elde edilebilecek her bir sonuca denir. (Örnek: 1, 2, 3, 4, 5, 6 gelmesi)
  • Olası Durumlar: Bir deneydeki tüm çıktıların kümesidir. (Örnek: Zar için 6 olası durum vardır.)
  • Olay: Bir deneyde gerçekleşmesini istediğimiz belirli bir durum veya durumlardır. (Örnek: Zarın tek sayı gelmesi)

Alıştırma Sorusu

Bir madeni paranın iki kez havaya atılması deneyindeki olası durumları yazınız.

Çözüm:
Paranın birinci atışta Yazı (Y) veya Tura (T), ikinci atışta yine Yazı (Y) veya Tura (T) gelebilir. Tüm olası durumlar şunlardır:

  • Yazı – Yazı (YY)
  • Yazı – Tura (YT)
  • Tura – Yazı (TY)
  • Tura – Tura (TT)

Toplam 4 olası durum vardır.

2. Olay Çeşitleri

Olaylar, gerçekleşme ihtimallerine göre sınıflandırılır.

Eşit, Daha Az, Daha Fazla Olasılık

Bir torbada 5 Mavi, 5 Kırmızı ve 8 Sarı top olduğunu düşünelim. Torbadan rastgele bir top çekme deneyinde:

  • Mavi gelme olayı ile Kırmızı gelme olayı eşit olasılıklıdır. (Sayıları eşit)
  • Kırmızı gelme olayı, Sarı gelme olayından daha az olasılıklıdır. (5 < 8)
  • Sarı gelme olayı, Mavi gelme olayından daha fazla olasılıklıdır. (8 > 5)

Kesin ve İmkansız Olay

  • Kesin Olay: Gerçekleşmesi %100 olan olaydır. Olasılık değeri 1’dir. (Örnek: Zar atıldığında 7’den küçük bir sayı gelmesi)
  • İmkansız Olay: Gerçekleşmesi imkansız olan olaydır. Olasılık değeri 0’dır. (Örnek: Zar atıldığında 8 gelmesi)

Alıştırma Sorusu

“MATEMATİK” kelimesinin harflerinin yazılı olduğu eş kartlardan rastgele birini seçme deneyinde “M” harfinin gelme olasılığı ile “A” harfinin gelme olasılığını karşılaştırınız.

Çözüm:
Kelimeyi inceleyelim: M (2 tane), A (2 tane), T (2 tane), E (1 tane), İ (1 tane), K (1 tane).
“M” harfinden 2 adet, “A” harfinden 2 adet bulunmaktadır. Sayıları eşit olduğu için bu iki olayın gerçekleşme olasılığı birbirine eşittir.

3. Bir Olayın Olma Olasılığını Hesaplama

❗ Bir olayın olma olasılığı, istenen olası durumların sayısının, tüm olası durumların sayısına bölünmesiyle bulunur.

\( \text{Bir Olayın Olma Olasılığı} = \frac{\text{İstenilen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}} \)

Örnek

Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığını hesaplayalım:

  • Tüm Durumlar: {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Toplam 6 durum)
  • İstenilen Durum (Asal Sayılar): {2, 3, 5} (Toplam 3 durum)
  • Olasılık: \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

Alıştırma Sorusu

İçinde 4 kırmızı, 6 sarı bilye bulunan bir torbadan rastgele çekilen bir bilyenin sarı olmama olasılığı kaçtır?

Çözüm:
1. “Sarı olmama” demek, “kırmızı olma” demektir.
2. Tüm Durumların Sayısı: 4 (kırmızı) + 6 (sarı) = 10 bilye.
3. İstenilen Durum Sayısı (Kırmızı): 4 bilye.
4. Olasılık: \( \frac{\text{İstenilen}}{\text{Tümü}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)
Sonuç: \(\frac{2}{5}\)’tir.

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Alan ve Olasılık

Yanda kenar uzunlukları verilen dikdörtgen şeklindeki hedef tahtasına bir atış yapılıyor. Atışın tahtaya isabet ettiği bilindiğine göre, boyalı kare bölgeye isabet etme olasılığı kaçtır? (Dikdörtgenin kısa kenarı 6m, uzun kenarı 10m. İçindeki karenin bir kenarı 3m)

A) \(\frac{1}{10}\)    B) \(\frac{3}{20}\)    C) \(\frac{1}{6}\)    D) \(\frac{3}{10}\)

Çözüm:
Bu tür geometri sorularında olasılık, alanların oranıyla bulunur.
1. Tüm Durumlar (Dikdörtgenin Alanı): 10 m * 6 m = 60 m²
2. İstenilen Durum (Karenin Alanı): 3 m * 3 m = 9 m²
3. Olasılık: \( \frac{\text{İstenilen Alan}}{\text{Tüm Alan}} = \frac{9}{60} \)
4. Sadeleştirme (Pay ve paydayı 3’e bölelim): \( \frac{3}{20} \)
Doğru Cevap: B

LGS Benzeri Soru 2: Tablo Yorumlama ve Olasılık

Bir okuldaki 8. sınıf şubelerindeki kız ve erkek öğrenci sayıları tabloda verilmiştir. Tüm 8. sınıf öğrencileri arasından rastgele seçilen bir öğrencinin 8-B sınıfından bir kız öğrenci olma olasılığı kaçtır? (Tablo: 8-A: 12 Kız, 10 Erkek; 8-B: 10 Kız, 15 Erkek; 8-C: 8 Kız, 12 Erkek)

A) \(\frac{1}{3}\)    B) \(\frac{10}{25}\)    C) \(\frac{1}{7}\)    D) \(\frac{10}{67}\)

Çözüm:
1. Tüm Durumların Sayısı (Toplam Öğrenci):
8-A: 12 + 10 = 22
8-B: 10 + 15 = 25
8-C: 8 + 12 = 20
Toplam = 22 + 25 + 20 = 67 öğrenci.
2. İstenilen Durum Sayısı (8-B’deki Kızlar): 10 öğrenci.
3. Olasılık: \( \frac{\text{İstenilen}}{\text{Tümü}} = \frac{10}{67} \)
Doğru Cevap: D

Bursluluk Benzeri Soru 1: Temel Olasılık Hesabı

1’den 20’ye kadar (1 ve 20 dahil) numaralandırılmış eş topların bulunduğu bir torbadan rastgele çekilen bir topun numarasının tek sayı olma olasılığı kaçtır?

A) \(\frac{1}{2}\)    B) \(\frac{9}{20}\)    C) \(\frac{11}{20}\)    D) \(\frac{1}{4}\)

Çözüm:
1. Tüm Durumların Sayısı: 1’den 20’ye kadar 20 tane top vardır.
2. İstenilen Durum Sayısı (Tek Sayılar): {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}. Toplam 10 tane tek sayı vardır.
3. Olasılık: \( \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \)
Doğru Cevap: A

Bursluluk Benzeri Soru 2: Kesin ve İmkansız Olay

Bir zar atma deneyi için aşağıdaki olaylardan hangisi imkansız olaydır?

A) Gelen sayının 5’ten büyük olması.
B) Gelen sayının bir rakam olması.
C) Gelen sayının 2’den küçük olması.
D) Gelen sayının 6’dan büyük olması.

Çözüm:
Bir zar atıldığında gelebilecek sayılar {1, 2, 3, 4, 5, 6}’dır.
A) 6 gelebilir, imkansız değil.
B) Gelen tüm sayılar rakamdır, bu kesin olaydır.
C) 1 gelebilir, imkansız değil.
D) 6’dan büyük bir sayı gelemez. Bu imkansız olaydır.
Doğru Cevap: D

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!



Tıkla Online Basit Olayların Olasılığı-Olasılık Testini Çöz*



Veri Analizi-Grafikler



Veri Analizi: Grafikleri Anlamak

Bu interaktif sayfa ile Sütun, Çizgi ve Daire Grafiği konularını eğlenceli bir şekilde öğrenecek ve verileri nasıl yorumlayacağını keşfedeceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

İlk modern daire grafiği, 1801 yılında William Playfair tarafından icat edildi. Grafikler, sayı yığınlarını bir bakışta anlaşılır hikayelere dönüştürmemizi sağlar!

1. Sütun Grafiği

❗ Sütun grafiği, farklı veri gruplarını veya kategorileri birbiriyle karşılaştırmak için en ideal grafik türüdür. Her bir sütun, belirli bir kategorinin miktarını veya değerini gösterir.

Örnek

Aşağıdaki tablo, üç öğrencinin bir haftada farklı derslerden çözdükleri soru sayılarını göstermektedir.

Öğrenci Türkçe Matematik Fen Bilimleri
Arda 120 200 180
Ece 160 180 100
Ali 140 160 180

Alıştırma Sorusu

Yukarıdaki grafiğe göre, üç öğrencinin çözdüğü toplam Türkçe soru sayısı, toplam Fen Bilimleri soru sayısından ne kadar eksiktir?

Çözüm:
1. Toplam Türkçe Soru Sayısı: 120 (Arda) + 160 (Ece) + 140 (Ali) = 420
2. Toplam Fen Bilimleri Soru Sayısı: 180 (Arda) + 100 (Ece) + 180 (Ali) = 460
3. Fark: 460 – 420 = 40
Sonuç: 40 soru eksiktir.

2. Çizgi Grafiği

❗ Çizgi grafiği, bir verinin belirli bir zaman aralığındaki artışını, azalışını veya değişimini göstermek için kullanılır. Özellikle “trendleri” görmek için harikadır.

Örnek

Aşağıdaki tablo, üç denizin beş günlük ortalama su sıcaklıklarını (°C) göstermektedir.

Deniz Pzt. Salı Çar. Per. Cuma
Marmara 16 17 18 17 18
Ege 18 19 17 20 20
Akdeniz 22 21 22 22 20

Alıştırma Sorusu

Yukarıdaki grafiğe göre, Akdeniz’in 5 günlük sıcaklık ortalaması kaçtır?

Çözüm:
1. Akdeniz’in sıcaklıklarını toplayalım: 22 + 21 + 22 + 22 + 20 = 107
2. Toplam gün sayısına (5) bölelim: 107 / 5 = 21,4
Sonuç: Ortalama sıcaklık 21,4 °C’dir.

3. Daire Grafiği

❗ Daire grafiği, bir bütünün parçalara nasıl ayrıldığını, yani verilerin bütün içindeki dağılımını veya oranını göstermek için kullanılır.

Örnek

Bir sınıftaki 24 öğrencinin en sevdiği derslerin dağılımı aşağıdaki gibidir:

Ders Öğrenci Sayısı
Matematik 6
Türkçe 4
Beden Eğitimi 8
Müzik 2
Fen Bilimleri 4

Alıştırma Sorusu

Yukarıdaki tabloya göre, Beden Eğitimi dersini seven öğrencileri gösteren daire diliminin merkez açısı kaç derecedir?

Çözüm:
1. Oran kuralım. Toplam 24 öğrenci 360°’ye karşılık geliyorsa, 8 öğrenci kaç dereceye karşılık gelir?

24 öğrenci   ->   360°
8 öğrenci    ->    x°

2. İçler dışlar çarpımı yapalım veya kat ilişkisine bakalım. Öğrenci sayısı 3’e bölündüğü için açı da 3’e bölünmelidir.
x = 360 / 3 = 120°
Sonuç: 120°’dir.

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Grafik Yorumlama ve Oran

Bir çiftçinin 2024 yılında ürettiği 720 ton ürünün dağılımı yandaki daire grafiğinde gösterilmiştir. Bu çiftçi 2025 yılında sadece arpa ve yulaf ekmiş ve 2024 yılına göre arpa üretimini %20 artırırken, yulaf üretimini %10 azaltmıştır. Buna göre çiftçinin 2025’teki toplam arpa ve yulaf üretimi kaç tondur? (Grafik: Arpa 120°, Yulaf 100°, Buğday 140°)

A) 400    B) 420    C) 444    D) 468

Çözüm:
1. 2024 yılındaki üretim miktarlarını bulalım:
Arpa: (720 ton / 360°) * 120° = 240 ton
Yulaf: (720 ton / 360°) * 100° = 200 ton
2. 2025 yılındaki üretim miktarlarını hesaplayalım:
Arpa: 240 + (240 * 20/100) = 240 + 48 = 288 ton
Yulaf: 200 – (200 * 10/100) = 200 – 20 = 180 ton
3. 2025 yılındaki toplam üretimi bulalım:
Toplam = 288 (Arpa) + 180 (Yulaf) = 468 ton
Doğru Cevap: D

LGS Benzeri Soru 2: Grafik Seçimi

Bir okuldaki 8. sınıf öğrencilerinin LGS’de branşlara göre yaptıkları net ortalamalarını birbiriyle kıyaslamak isteyen bir okul müdürü, bu veriyi sunmak için en uygun grafik türünü aramaktadır. Müdürün amacına en uygun grafik aşağıdakilerden hangisidir?

A) Daire Grafiği    B) Sütun Grafiği    C) Çizgi Grafiği    D) Tablo

Çözüm:
Soruda temel amaç, farklı kategorilerin (derslerin net ortalamaları) birbiriyle karşılaştırılmasıdır. Veri gruplarını karşılaştırmak için en uygun grafik türü Sütun Grafiği’dir. Çizgi grafiği zamanla değişimi, daire grafiği ise bir bütünün parçalarını göstermek için daha uygundur.
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 1: Sütun Grafiği Yorumlama

Bir kitapçının 4 gün boyunca sattığı roman ve şiir kitabı sayıları sütun grafiğinde gösterilmiştir. Grafiğe göre aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? (Grafik Verileri: Pzt: 20 Roman, 30 Şiir; Salı: 40 Roman, 25 Şiir; Çar: 30 Roman, 30 Şiir; Per: 50 Roman, 20 Şiir)

A) Dört günde toplam 140 roman satılmıştır.
B) Roman satışları sürekli artmıştır.
C) Salı günü satılan şiir kitabı sayısı, pazartesi gününden azdır.
D) En fazla kitap Perşembe günü satılmıştır.

Çözüm:
A) Toplam Roman: 20+40+30+50 = 140 (Doğru)
B) Roman Satışları: 20 -> 40 -> 30 -> 50. Salı’dan Çarşamba’ya düşüş olduğu için sürekli artmamıştır. (Yanlış)
C) Salı (25 şiir) < Pazartesi (30 şiir). (Doğru)
D) Pzt:50, Salı:65, Çar:60, Per:70. En fazla Perşembe. (Doğru)
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 2: Çizgi Grafiği Yorumlama

Ankara ve İzmir’in 5 günlük hava sıcaklıkları çizgi grafiği ile gösterilmiştir. Hangi gün iki şehir arasındaki sıcaklık farkı en fazladır? (Veriler: Pzt: A:10,İ:15; Salı: A:12,İ:14; Çar: A:8,İ:16; Per: A:11,İ:15; Cuma: A:14,İ:16)

A) Pazartesi    B) Salı    C) Çarşamba    D) Perşembe

Çözüm:
Her gün için sıcaklık farklarını hesaplayalım:
Pazartesi: 15 – 10 = 5°C
Salı: 14 – 12 = 2°C
Çarşamba: 16 – 8 = 8°C
Perşembe: 15 – 11 = 4°C
Cuma: 16 – 14 = 2°C
En büyük fark 8°C ile Çarşamba günüdür.
Doğru Cevap: C

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!


Tıkla Online Veri Analizi-Grafikler Testini Çöz.



Ondalık Sayıların Karekökleri ve Gerçek Sayılar







Etkileşimli Matematik Dersi

Ondalık Karekökler ve Gerçek Sayılar

Bu interaktif sayfa ile “Ondalık Sayıların Karekökleri” ve “Gerçek Sayılar” konularını eğlenceli bir şekilde öğreneceksiniz.

💡 Biliyor muydunuz?

Sonsuza kadar devretmeden devam eden meşhur Pi (π) sayısı, bir çemberin çevresinin çapına bölünmesiyle elde edilir ve irrasyonel bir sayıdır. Bu yüzden Pi sayısını kesir olarak ifade edemeyiz!

1. Ondalık Sayıların Karekökü

❗ Ondalık bir sayının karekökünü almak için en kolay yol, onu önce rasyonel sayıya (kesre) çevirmektir. Sonra payın ve paydanın karekökü ayrı ayrı alınır.

Genel Kural: \(\sqrt{a,bc} = \sqrt{\frac{abc}{100}} = \frac{\sqrt{abc}}{\sqrt{100}}\)

Örnekler

  1. Temel Örnek: \(\sqrt{0,25} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0,5\)
  2. Virgülden Sonra Çok Basamak: \(\sqrt{0,0081} = \sqrt{\frac{81}{10000}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{10000}} = \frac{9}{100} = 0,09\)
  3. İşlemli Örnek: \(\sqrt{1,44} + \sqrt{0,09} = \sqrt{\frac{144}{100}} + \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{12}{10} + \frac{3}{10} = \frac{15}{10} = 1,5\)

Alıştırma Sorusu

\(\sqrt{0,04} + \sqrt{1,69} – \sqrt{0,01}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:
Önce her terimin karekökünü alalım:
\(\sqrt{0,04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{2}{10} = 0,2\)
\(\sqrt{1,69} = \sqrt{\frac{169}{100}} = \frac{13}{10} = 1,3\)
\(\sqrt{0,01} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} = 0,1\)
Şimdi işlemi yapalım: \(0,2 + 1,3 – 0,1 = 1,5 – 0,1 = 1,4\)
Sonuç: 1,4

2. Gerçek (Reel) Sayılar

Sayıları farklı kümeler altında inceleyebiliriz. İki ana grubumuz var: Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar. Bu iki kümenin birleşimi ise bize Gerçek Sayıları verir.

Rasyonel Sayılar (Q)

İki tam sayının oranı (kesir) şeklinde yazılabilen sayılardır. Payda 0 olamaz. Doğal sayılar, tam sayılar, ondalık sayılar ve karekökten tam çıkan sayılar rasyoneldir.

Örnekler: \(7 = \frac{7}{1}\), \(\frac{3}{5}\), \(0,8 = \frac{8}{10}\), \(\sqrt{49} = 7\)

İrrasyonel Sayılar (I)

İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılardır. Genellikle virgülden sonra düzensiz olarak sonsuza dek devam ederler ve karekökten tam çıkamazlar.

Örnekler: \(\pi \approx 3,14159…\), \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{11}\)

Alıştırma Sorusu

\(\sqrt{64}\), \(-5\), \(\frac{0}{3}\), \(\sqrt{10}\), \(2, \overline{3}\) sayılarından hangileri rasyonel, hangileri irrasyoneldir?

Çözüm:
Rasyonel Sayılar (Q):

  • \(\sqrt{64} = 8\) (Tam sayı olduğu için rasyoneldir)
  • \(-5\) (Tam sayı olduğu için rasyoneldir)
  • \(\frac{0}{3} = 0\) (Rasyoneldir)
  • \(2, \overline{3}\) (Devirli ondalık sayılar rasyoneldir)

İrrasyonel Sayılar (I):

  • \(\sqrt{10}\) (Kök dışına tam çıkamadığı için irrasyoneldir)

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Geometri ve Karekök

Kenar uzunlukları \(\sqrt{1,96}\) m ve \(\sqrt{3,24}\) m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin çevresine 2 sıra tel çekilecektir. Bu iş için kaç metre tel gerekir?

A) 6,4    B) 12,8    C) 16    D) 3,2

Çözüm:
1. Kenar uzunluklarını bulalım:
Kısa kenar: \(\sqrt{1,96} = \sqrt{\frac{196}{100}} = \frac{14}{10} = 1,4\) m
Uzun kenar: \(\sqrt{3,24} = \sqrt{\frac{324}{100}} = \frac{18}{10} = 1,8\) m
2. Dikdörtgenin çevresini hesaplayalım:
Çevre = 2 \(\cdot\) (Kısa Kenar + Uzun Kenar) = 2 \(\cdot\) (1,4 + 1,8) = 2 \(\cdot\) (3,2) = 6,4 m
3. İki sıra tel için gereken uzunluğu bulalım:
Toplam Tel = 2 \(\cdot\) Çevre = 2 \(\cdot\) 6,4 = 12,8 m
Doğru Cevap: B

LGS Benzeri Soru 2: Sayı Doğrusu ve Sıralama

Sayı doğrusu üzerinde \(\sqrt{2,89}\) ile \(\sqrt{15}\) sayıları arasında kaç tane tam sayı bulunur?

A) 1    B) 2    C) 3    D) 4

Çözüm:
1. \(\sqrt{2,89}\) sayısının değerini bulalım:
\(\sqrt{2,89} = \sqrt{\frac{289}{100}} = \frac{17}{10} = 1,7\)
2. \(\sqrt{15}\) sayısının hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulalım:
\(\sqrt{9} < \sqrt{15} < \sqrt{16}\), yani \(3 < \sqrt{15} < 4\).
3. Sayı doğrusunda 1,7 ile yaklaşık 3,… arasındaki tam sayıları bulalım:
Bu aralıktaki tam sayılar 2 ve 3’tür.
Toplamda 2 tane tam sayı vardır.
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 1: Sayı Kümeleri

\(a = \sqrt{0,09}\), \(b = \pi\), \(c = \frac{12}{4}\) sayıları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) a irrasyonel, b rasyonel, c rasyonel
B) a rasyonel, b irrasyonel, c rasyonel
C) a irrasyonel, b irrasyonel, c irrasyonel
D) a rasyonel, b rasyonel, c irrasyonel

Çözüm:
Sayıları inceleyelim:
\(a = \sqrt{0,09} = 0,3 = \frac{3}{10}\). Bu bir Rasyonel Sayıdır.
\(b = \pi\). Pi sayısı, virgülden sonrası düzensiz sonsuza gittiği için bir İrrasyonel Sayıdır.
\(c = \frac{12}{4} = 3\). Bu bir tam sayıdır ve her tam sayı aynı zamanda Rasyonel Sayıdır.
Dolayısıyla a rasyonel, b irrasyonel ve c rasyoneldir.
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 2: Dört İşlem

\(\frac{\sqrt{1,21} + \sqrt{0,25}}{\sqrt{0,04}}\) işleminin sonucu kaçtır?

A) 4    B) 6    C) 8    D) 10

Çözüm:
1. Pay ve paydadaki sayıların değerlerini bulalım:
\(\sqrt{1,21} = 1,1\)
\(\sqrt{0,25} = 0,5\)
\(\sqrt{0,04} = 0,2\)
2. İşlemi yapalım:
\(\frac{1,1 + 0,5}{0,2} = \frac{1,6}{0,2}\)
3. Virgüllerden kurtulmak için kesri 10 ile genişletelim:
\(\frac{1,6 \cdot 10}{0,2 \cdot 10} = \frac{16}{2} = 8\)
Doğru Cevap: C

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!




Online Ondalık Sayıların Karekökleri Testini Çöz.

Online Gerçek Sayılar Testini Çöz.



Kareköklü İfadeyi Doğal Sayı Yapan Çarpan

Kareköklü İfadeleri Doğal Sayı Yapma

Bu interaktif sayfa ile bir kareköklü ifadeyi hangi sayıyla çarparsak sonucun bir doğal sayı olacağını keşfedeceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

Bu öğrendiğimiz yöntem, kesirlerin paydasında köklü ifade bırakmamak için kullanılan “paydayı rasyonel yapma” konusunun temelidir. Yani aslında daha karmaşık konular için bir temel atıyorsun!

1. Kökten Kurtarma’nın Altın Kuralı

❗ Bir kareköklü ifadeyi kökten kurtarıp doğal sayı yapmanın en temel yolu, onu kendisiyle çarpmaktır. Çünkü bir köklü sayı kendisiyle çarpıldığında kök ortadan kalkar.

\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a\)

Örnekler

  • \(\sqrt{5}\) sayısını doğal sayı yapmak için \(\sqrt{5}\) ile çarparız: \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5\)
  • \(\sqrt{11}\) sayısını doğal sayı yapmak için \(\sqrt{11}\) ile çarparız: \(\sqrt{11} \cdot \sqrt{11} = 11\)

2. \(a\sqrt{b}\) Şeklindeki İfadeler

Eğer ifademiz \(a\sqrt{b}\) şeklinde ise, katsayı olan ‘a’ zaten bir doğal sayıdır. Bizim kurtulmamız gereken kısım \(\sqrt{b}\)’dir. Bu yüzden ifadeyi \(\sqrt{b}\) içeren bir sayıyla çarpmamız yeterlidir.

Örnek: \(2\sqrt{3}\) ifadesini doğal sayı yapan çarpanlar nelerdir?

Burada köklü kısım \(\sqrt{3}\)’tür. Demek ki çarpanımızın içinde \(\sqrt{3}\) olmalı.

  • \(\sqrt{3}\) ile çarpalım: \(2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6\) (Sonuç doğal sayı!)
  • \(5\sqrt{3}\) ile çarpalım: \(2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} = (2 \cdot 5) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 10 \cdot 3 = 30\) (Sonuç doğal sayı!)

Gördüğün gibi, \(2\sqrt{3}\) ifadesini \(\sqrt{3}\), \(5\sqrt{3}\), \(10\sqrt{3}\) gibi \(\sqrt{3}\)’ün katları olan herhangi bir sayıyla çarptığımızda sonuç doğal sayı olur.

Alıştırma Sorusu

\(\sqrt{48}\) sayısını doğal sayı yapan en küçük pozitif çarpan nedir?

Çözüm:
1. Önce \(\sqrt{48}\)’i \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazalım: \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\).
2. Kökten kurtarmamız gereken kısım \(\sqrt{3}\)’tür.
3. Bu ifadeyi doğal sayı yapacak en küçük pozitif çarpan \(\sqrt{3}\)’ün kendisidir.
Kontrol: \(4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12\)

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Alan Problemi

Alanı \(\sqrt{128}\) cm² olan bir dikdörtgenin kenarlarından birinin uzunluğu \(\sqrt{2}\) cm’dir. Bu dikdörtgenin diğer kenar uzunluğunu doğal sayı yapmak için bu uzunluk en az kaç ile çarpılmalıdır?

A) \(\sqrt{2}\)    B) 1    C) 2    D) \(\sqrt{8}\)

Çözüm:
1. Diğer Kenarı Bulalım: Diğer Kenar = Alan / Bilinen Kenar
Diğer Kenar = \(\frac{\sqrt{128}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{128}{2}} = \sqrt{64} = 8\) cm.
2. Bulduğumuz kenar uzunluğu (8 cm) zaten bir doğal sayıdır.
3. Bir doğal sayıyı, doğal sayı yapan en küçük pozitif çarpan 1’dir.
Doğru Cevap: B

LGS Benzeri Soru 2: Tablo Yorumlama

Aşağıdaki tabloda verilen sayılardan hangisi, karşısındaki çarpan ile çarpıldığında sonuç bir doğal sayı olur?

Sayı Çarpan
A) \(\sqrt{20}\) \(\sqrt{2}\)
B) \(\sqrt{27}\) \(\sqrt{3}\)
C) \(\sqrt{45}\) \(\sqrt{3}\)
D) \(\sqrt{50}\) \(\sqrt{5}\)

Çözüm:
Sayıları \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazıp çarpımları kontrol edelim:
A) \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). \(2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{10}\). Doğal sayı değil.
B) \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\). \(3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9\). Doğal sayı!
C) \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\). \(3\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{15}\). Doğal sayı değil.
D) \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\). \(5\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{10}\). Doğal sayı değil.
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 1: Hangisi Yapmaz?

Aşağıdakilerden hangisi \(\sqrt{24}\) ile çarpıldığında sonucu bir doğal sayı yapmaz?

A) \(\sqrt{6}\)    B) \(\sqrt{24}\)    C) \(\sqrt{54}\)    D) \(\sqrt{12}\)

Çözüm:
1. Önce \(\sqrt{24}\)’ü sadeleştirelim: \(\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}\).
2. Sonucun doğal sayı olması için çarpanın içinde \(\sqrt{6}\) olmalıdır.
A) \(\sqrt{6}\) ile çarpılırsa olur.
B) \(\sqrt{24}\) (yani \(2\sqrt{6}\)) ile çarpılırsa olur.
C) \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}\). Çarpılırsa olur.
D) \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). Kök içi \(\sqrt{6}\) değil, \(\sqrt{3}\)’tür. Çarpıldığında \(2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{18}\) olur, doğal sayı değil.
Doğru Cevap: D

Bursluluk Benzeri Soru 2: Değer Verme

\(A = \sqrt{32}\) olduğuna göre, \(A \cdot B\) çarpımını doğal sayı yapan B sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) \(\sqrt{2}\)    B) \(\sqrt{3}\)    C) \(\sqrt{5}\)    D) \(\sqrt{8}\)

Çözüm:
1. \(\sqrt{32}\)’yi sadeleştirelim: \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\).
2. İfadeyi doğal sayı yapmak için çarpanın içinde \(\sqrt{2}\) olmalıdır.
3. Şıklara bakalım: \(\sqrt{2}\) olabilir. \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\) de olabilir. Genellikle bu tür sorularda en sade hali istenir veya şıklarda sadece biri verilir.
A şıkkındaki \(\sqrt{2}\) ile çarpalım: \(4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8\).
D şıkkındaki \(\sqrt{8}\) ile çarpalım: \(4\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4\sqrt{16} = 4 \cdot 4 = 16\).
Her ikisi de sonucu doğal sayı yapar. Soruda “hangisi olabilir?” dediği için ikisi de doğrudur. Ancak genellikle şıklarda tek doğru olur. (Not: Bu soruda hem A hem D doğru, LGS’de böyle bir durum olmaz.)
Doğru Cevap: A (veya D)

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!


Online Karekökü Doğal Sayı Yapan Çarpan Testini Çöz



Kareköklü Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemleri

Kareköklü Sayılarda Çarpma ve Bölme

Bu interaktif sayfa ile “Kareköklü Sayılarda Çarpma ve Bölme” konusunu eğlenceli bir şekilde öğreneceksiniz.

💡 Biliyor muydunuz?

Fizikte, bir cismin serbest düşme süresini hesaplarken \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\) formülü kullanılır. Gördüğünüz gibi, kareköklü sayılarla bölme işlemi hayatın her alanında karşımıza çıkabilir!

1. Kareköklü Sayılarda Çarpma İşlemi

❗ Kareköklü sayılarla çarpma işlemi yaparken katsayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar da kendi arasında çarpılır. Sonuç, gerekirse \(a\sqrt{b}\) şeklinde sadeleştirilir.

Genel Kural: \(x\sqrt{a} \cdot y\sqrt{b} = x \cdot y \sqrt{a \cdot b}\)

Örnekler

  1. Temel Çarpma: \(4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} = (4 \cdot 2)\sqrt{3 \cdot 2} = 8\sqrt{6}\)
  2. Kökten Çıkarma: \(\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{6} = 4\sqrt{6 \cdot 6} = 4\sqrt{36} = 4 \cdot 6 = 24\)
  3. Önemli Kısayol: Bir kareköklü sayı kendisiyle çarpıldığında kök ortadan kalkar! \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a\). Örneğin: \(\sqrt{13} \cdot \sqrt{13} = 13\)

2. Kareköklü Sayılarda Bölme İşlemi

❗ Kareköklü sayılarla bölme işlemi yaparken de kural çarpmaya benzer: Katsayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar da kendi arasında ortak bir kök içinde bölünür.

Genel Kural: \(\frac{x\sqrt{a}}{y\sqrt{b}} = \frac{x}{y}\sqrt{\frac{a}{b}}\)

Örnekler

  1. Temel Bölme: \(\frac{12\sqrt{10}}{4\sqrt{5}} = \frac{12}{4}\sqrt{\frac{10}{5}} = 3\sqrt{2}\)
  2. Sadeleştirme: \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{125}} = \sqrt{\frac{5}{125}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}\)

Geçmiş Yıllarda Çıkmış Soru Tipleri (LGS Benzeri)

Soru 1: Dikdörtgenin Alanı

Kısa kenarının uzunluğu \(3\sqrt{2}\) cm ve uzun kenarının uzunluğu \(7\sqrt{3}\) cm olan bir dikdörtgenin alanı kaç cm²’dir?

A) \(10\sqrt{5}\)    B) \(21\sqrt{6}\)    C) \(21\sqrt{5}\)    D) \(10\sqrt{6}\)

Çözüm: Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır.
Alan = \( (3\sqrt{2}) \cdot (7\sqrt{3}) \)
Alan = \( (3 \cdot 7) \sqrt{2 \cdot 3} \)
Alan = \( 21\sqrt{6} \) cm².
Doğru Cevap: B

Soru 2: Alanı Verilen Dikdörtgenin Kenarını Bulma

Alanı \(20\sqrt{15}\) cm² olan bir dikdörtgenin bir kenarının uzunluğu \(2\sqrt{5}\) cm ise diğer kenarının uzunluğu kaç cm’dir?

A) \(10\sqrt{3}\)    B) \(18\sqrt{3}\)    C) \(10\sqrt{75}\)    D) \(22\sqrt{20}\)

Çözüm: Dikdörtgenin diğer kenarını bulmak için alanı, verilen kenar uzunluğuna böleriz.
Diğer Kenar = \(\frac{20\sqrt{15}}{2\sqrt{5}}\)
Diğer Kenar = \(\frac{20}{2}\sqrt{\frac{15}{5}}\)
Diğer Kenar = \(10\sqrt{3}\) cm.
Doğru Cevap: A

Soru 3: Üçgenin Alanı

Bir üçgenin taban uzunluğu \(\sqrt{72}\) cm ve bu tabana ait yüksekliği \(\sqrt{32}\) cm’dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²’dir?

A) 24    B) 48    C) \(\sqrt{2304}\)    D) \(24\sqrt{2}\)

Çözüm: Üçgenin alanı = \(\frac{Taban \cdot Yükseklik}{2}\). Önce sayıları \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazalım.
Taban: \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\) cm.
Yükseklik: \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\) cm.
Alan = \(\frac{6\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}}{2} = \frac{24\sqrt{4}}{2} = \frac{24 \cdot 2}{2} = 24\) cm².
Doğru Cevap: A

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!


Online Kareköklü Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemleri Testini Çöz



Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Bu interaktif sayfa ile “Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma” konusunu eğlenceli bir şekilde öğreneceksiniz.

💡 Biliyor muydunuz?

Doğada ve sanatta sıkça karşılaşılan Altın Oran \(\phi\), \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) olarak ifade edilir. Yani bu meşhur oranın içinde bir karekök gizlidir!

1. Toplama ve Çıkarma Kuralı

❗ Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Kök içleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır, sonuç ortak kökün önüne katsayı olarak yazılır.

Tıpkı “3 elma + 2 elma = 5 elma” der gibi, “3√2 + 2√2 = 5√2” diyebiliriz.

Örnekler

  1. Toplama: 7√3 + 2√3 = (7+2)√3 = 9√3
  2. Çıkarma: 9√5 - 3√5 = (9-3)√5 = 6√5
  3. Katsayısı 1 Olanlar: √7 + √7 + √7 = (1+1+1)√7 = 3√7
⚠️ Dikkat: Kök içleri farklıysa toplama veya çıkarma yapılamaz!
Örneğin, √2 + √3 işlemi bu şekilde kalır, √5‘e eşit değildir.

2. 🔧 Kök İçlerini Eşitleme

Bazen sayılar ilk bakışta farklı köklere sahip gibi görünebilir. Bu durumda, sayıları a√b şeklinde yazarak kök içlerini eşitlemeye çalışırız.

Adım Adım Kök Eşitleme (Örnek: √75 + √12)

  1. Sayıları a√b şeklinde yazın:
    • √75 = √(25 . 3) = 5√3
    • √12 = √(4 . 3) = 2√3
  2. Kök içleri artık aynı! İşlemi yapın:
    5√3 + 2√3 = (5+2)√3 = 7√3

Karmaşık Bir Örnek

Örnek İşlem: \(\sqrt{75}+\sqrt{12}-\sqrt{48}\)

1. Adım (a√b):  5√3 + 2√3 - 4√3
2. Adım (Katsayılar): (5 + 2 - 4)√3
3. Adım (Sonuç): 3√3

Geçmiş Yıllarda Çıkmış Soru Tipleri (LGS Benzeri)

Soru 1: Geometrik Şekiller ve Çevre

Uzun kenarı \(\sqrt{128}\) cm ve kısa kenarı \(\sqrt{32}\) cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun çevresi kaç cm’dir?

A) \(10\sqrt{2}\)    B) \(12\sqrt{2}\)    C) \(24\sqrt{2}\)    D) \(\sqrt{160}\)

Çözüm: Önce kenar uzunluklarını a√b şeklinde yazalım.
Uzun kenar: \(\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}\) cm.
Kısa kenar: \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\) cm.
Çevre = 2 * (Uzun Kenar + Kısa Kenar)
Çevre = 2 * (\(8\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\)) = 2 * (\(12\sqrt{2}\)) = \(24\sqrt{2}\) cm.
Doğru Cevap: C

Soru 2: Kalan Miktarı Bulma

Bir terzi, \(\sqrt{200}\) metre uzunluğundaki bir kumaşın önce \(\sqrt{18}\) metrelik, sonra \(\sqrt{50}\) metrelik kısmını kullanıyor. Geriye kaç metre kumaş kalmıştır?

A) \(2\sqrt{2}\)    B) \(3\sqrt{2}\)    C) \(8\sqrt{2}\)    D) \(\sqrt{132}\)

Çözüm: Tüm ifadeleri a√b şeklinde yazalım.
Toplam Kumaş: \(\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}\) m.
Kullanılan 1: \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\) m.
Kullanılan 2: \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\) m.
Toplam kullanılan: \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\) m.
Kalan Kumaş: \(10\sqrt{2} – 8\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\) m.
Doğru Cevap: A

Soru 3: Alan ve Çıkarma İşlemi

Alanı 180 cm² olan kare şeklindeki bir kartonun içinden, alanı 45 cm² olan kare şeklinde bir parça kesilip çıkarılıyor. Kalan şeklin çevresi kaç cm’dir?

A) \(12\sqrt{5}\)    B) \(18\sqrt{5}\)    C) \(24\sqrt{5}\)    D) \(30\sqrt{5}\)

Çözüm: Karenin alanı kenarının karesidir, yani kenarı alanın kareköküdür.
Büyük karenin bir kenarı: \(\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}\) cm.
Küçük karenin bir kenarı: \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\) cm.
Şekil kesildiğinde, büyük karenin çevresinden iki kenar eksilir ama yerine küçük karenin iki kenarı eklenir. Bu tip sorularda çevre genellikle artar. Yeni çevre: Büyük karenin çevresi + Küçük karenin 2 kenarı.
Büyük Çevre: \(4 \cdot 6\sqrt{5} = 24\sqrt{5}\) cm.
Eklenen Çevre: \(2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\) cm.
Toplam Çevre: \(24\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 30\sqrt{5}\) cm. Doğru Cevap: D

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!


Not: Eğer kareköklü sayının zaten (4√27) katsayısı var ise dışarı çıkan sayı katsayı ile çarpılır!(4√27=4.3√3=12√3)

Online Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri Testini Çöz.



Katsayıyı Kök İçine Alma ve Kareköklü Sayıları Sıralama


Katsayıyı Kök İçine Alma ve Sıralama

Bu interaktif sayfa ile kareköklü sayıların katsayılarını kök içine almayı ve bu sayıları sıralamayı öğreneceksiniz.

💡 Biliyor muydunuz?

Kareköklü sayıları sıralama, mühendislerin farklı malzemelerin dayanıklılığını karşılaştırması gibi gerçek dünya problemlerinde kullanılır!

1. Katsayıyı Kök İçine Alma

❗ Katsayıyı karekök içine alırken, katsayının karesi alınarak (kendisi ile çarpılarak) kök içindeki sayı ile çarpılır ve sonuç kök içine yazılır.

$a \ge 0$ olmak üzere $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$

Örnek: $2\sqrt{3}$ sayısında katsayıyı kök içine alalım.

$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$

⚠️ Unutma: Karekök dışındaki sayı negatif ise, eksi işareti kök dışında bırakılır. Örnek: $-2\sqrt{5} = -\sqrt{2^2 \cdot 5} = -\sqrt{20}$

Alıştırma Soruları

Soru 1: $7\sqrt{2}$ sayısında katsayıyı kök içine alınız.

Çözüm: $7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98}$

Soru 2: $4\sqrt{5}$ sayısında katsayıyı kök içine alınız.

Çözüm: $4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$

2. Kareköklü Sayılarda Sıralama

❗ Kareköklü sayılarda sıralama yapmak için, tüm katsayılar kök içine alınır. Daha sonra kök içindeki sayılar karşılaştırılır. Kök içi büyük olan sayı daha büyüktür.

Örnek: $3\sqrt{5}$, $4\sqrt{2}$ ve $2\sqrt{11}$ sayılarını karşılaştıralım.

  1. Tüm katsayıları kök içine alalım:
    • $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$
    • $4\sqrt{2} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$
    • $2\sqrt{11} = \sqrt{2^2 \cdot 11} = \sqrt{4 \cdot 11} = \sqrt{44}$
  2. Şimdi kök içindeki sayıları sıralayalım: $32 < 44 < 45$
  3. Bu sıralamaya göre orijinal sayıları yazalım: $4\sqrt{2} < 2\sqrt{11} < 3\sqrt{5}$

Alıştırma Soruları

Soru 1: $a=5\sqrt{2}$, $b=2\sqrt{13}$ ve $c=4\sqrt{3}$ sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm:
$a = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$
$b = \sqrt{2^2 \cdot 13} = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{52}$
$c = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$
Kök içlerine göre sıralama: $\sqrt{48} < \sqrt{50} < \sqrt{52}$ yani $c < a < b$.

Soru 2: $2\sqrt{5} < A < 9\sqrt{3}$ eşitsizliğinde A bir tam sayı ise alabileceği kaç farklı değer vardır?

Çözüm:
Önce sınırları kök içine alalım: $2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$ ve $9\sqrt{3} = \sqrt{81 \cdot 3} = \sqrt{243}$.
Eşitsizliğimiz $\sqrt{20} < A < \sqrt{243}$ oldu.
A’nın bir tam sayı olduğunu biliyoruz. $\sqrt{16}=4$ ve $\sqrt{25}=5$ olduğundan $\sqrt{20}$ yaklaşık 4,4’tür. $\sqrt{225}=15$ ve $\sqrt{256}=16$ olduğundan $\sqrt{243}$ yaklaşık 15,5’tir.
Bu aralıktaki tam sayılar 5, 6, …, 15’tir.
Terim sayısı formülünden: (Son Terim – İlk Terim) + 1 = (15 – 5) + 1 = 11 tane farklı değer vardır.

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!




Online Kareköklü Sayılarda Kat Sayıyı Kök İçine Alma ve Sıralama Testi Çöz



Tam Kare Olmayan Sayıların Karekökleri

Karekök Değerini Tahmin Etme

Bu interaktif sayfa ile tam kare olmayan sayıların kareköklerinin hangi iki doğal sayı arasında olduğunu kolayca bulmayı öğreneceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

Hesap makineleri yokken, eski Babilliler gibi medeniyetler, tam kare olmayan sayıların kareköklerini tahmin etmek için buna çok benzer yöntemler ve geometrik çizimler kullanıyorlardı!

1. Tam Kare Sayıları Pusula Olarak Kullanma

❗ Tam kare olmayan bir sayının karekökünü bulmanın sırrı, o sayıya en yakın tam kare sayıları bulmaktır. Sayımız, bu iki tam kare sayının arasında yer aldığı için, karekökü de o sayıların karekökleri arasında yer alır.

Örnek: \(\sqrt{20}\) hangi iki tam sayı arasındadır?

  1. 1. Adım: 20’den küçük en büyük tam kare sayıyı bul. Bu sayı 16’dır. (\(\sqrt{16} = 4\))
  2. 2. Adım: 20’den büyük en küçük tam kare sayıyı bul. Bu sayı 25’tir. (\(\sqrt{25} = 5\))
  3. 3. Adım: Sayımızı ve karekökleri sıralayalım:
    \(16 < 20 < 25\) olduğuna göre,
    \(\sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25}\)
    Yani, \(4 < \sqrt{20} < 5\)'tir.

Sonuç: \(\sqrt{20}\) sayısı 4 ile 5 arasındadır.

2. Hangi Sayıya Daha Yakın?

Karekökün hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulduktan sonra, hangisine daha yakın olduğunu da tahmin edebiliriz. Bunun için sayımızın tam kare sayılara olan uzaklığına bakarız.

Örnek: \(\sqrt{20}\) sayısı 4’e mi yoksa 5’e mi daha yakındır?

  • 20’nin 16’ya olan uzaklığı: \(20 – 16 = 4\) birim.
  • 20’nin 25’e olan uzaklığı: \(25 – 20 = 5\) birim.

20, 16’ya daha yakın olduğu için, \(\sqrt{20}\) de \(\sqrt{16}\)’ya, yani 4’e daha yakındır. Değeri yaklaşık olarak 4.4 gibidir.

Alıştırma Sorusu

\(\sqrt{50}\) sayısı hangi iki tam sayı arasındadır ve hangisine daha yakındır?

Çözüm:
1. 50’den küçük tam kare: 49 (\(\sqrt{49}=7\)). 50’den büyük tam kare: 64 (\(\sqrt{64}=8\)). O halde \(\sqrt{50}\) sayısı 7 ile 8 arasındadır.
2. Uzaklıklara bakalım: \(50-49=1\) ve \(64-50=14\).
3. 50, 49’a çok daha yakın olduğu için, \(\sqrt{50}\) de 7’ye daha yakındır.

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Geometri Problemi

Alanı 70 cm² olan kare şeklindeki bir fotoğraf çerçevesinin bir kenar uzunluğu, santimetre cinsinden hangi iki tam sayı arasındadır?

A) 6 ile 7    B) 7 ile 8    C) 8 ile 9    D) 9 ile 10

Çözüm:
1. Karenin alanı bir kenarının karesine eşittir. Alan 70 ise, bir kenar \(\sqrt{70}\) cm’dir.
2. \(\sqrt{70}\)’in hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmalıyız.
3. 70’ten küçük en büyük tam kare: 64 (\(\sqrt{64}=8\)).
4. 70’ten büyük en küçük tam kare: 81 (\(\sqrt{81}=9\)).
5. Öyleyse, \(8 < \sqrt{70} < 9\). Kenar uzunluğu 8 ile 9 arasındadır.
Doğru Cevap: C

LGS Benzeri Soru 2: Sayı Doğrusu

Sayı doğrusu üzerinde \(\sqrt{85}\) sayısına karşılık gelen noktaya en yakın tam sayı aşağıdakilerden hangisidir?

A) 8    B) 9    C) 10    D) 85

Çözüm:
1. \(\sqrt{85}\) sayısının hangi tam karelere yakın olduğunu bulalım: \(\sqrt{81}=9\) ve \(\sqrt{100}=10\).
2. 85 sayısının 81’e ve 100’e uzaklıklarını karşılaştıralım:
\(85 – 81 = 4\)
\(100 – 85 = 15\)
3. 85, 81’e daha yakın olduğu için, \(\sqrt{85}\) de \(\sqrt{81}\)’e, yani 9’a daha yakındır.
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 1: Aralık Bulma

\(\sqrt{150}\) sayısı hangi iki ardışık doğal sayı arasındadır?

A) 11 ile 12    B) 12 ile 13    C) 13 ile 14    D) 14 ile 15

Çözüm:
1. 150’ye en yakın tam kareleri düşünelim. \(12^2 = 144\) ve \(13^2 = 169\).
2. \(144 < 150 < 169\) olduğu için, \(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\) olur.
3. Yani, \(12 < \sqrt{150} < 13\). Sayımız 12 ile 13 arasındadır.
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 2: Karşılaştırma

Aşağıdaki sayılardan hangisi 10 ile 11 arasında bir değere sahiptir?

A) \(\sqrt{98}\)    B) \(\sqrt{105}\)    C) \(\sqrt{122}\)    D) \(\sqrt{130}\)

Çözüm:
Bir sayının 10 ile 11 arasında olması için, karekök içindeki sayının \(10^2\) ile \(11^2\) arasında, yani 100 ile 121 arasında olması gerekir.
Şıkları inceleyelim:
A) 98, bu aralıkta değil.
B) 105, 100 ile 121 arasındadır.
C) 122, bu aralıkta değil.
D) 130, bu aralıkta değil.
Doğru Cevap: B

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!



Online Tam Kare Olmayan Sayıların Karekökleri Testini Çöz.