8.Sınıf LGS Eğim-Doğrunun Eğimi

Doğrunun Eğimi

Bu interaktif sayfa ile bir doğrunun ne kadar “dik” veya “yatık” olduğunu gösteren eğim kavramını, modellerle ve denklemlerle ilişkilendirerek öğreneceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

Mühendisler ve mimarlar, bir çatının ne kadar dik olacağını, bir engelli rampasının ne kadar güvenli olacağını veya bir yolun ne kadar virajlı olacağını hesaplamak için her zaman eğim kullanırlar!

1. Eğim Nedir ve Nasıl Hesaplanır?

❗ Eğim, bir doğrunun dikey olarak ne kadar değiştiğinin, yatay olarak ne kadar değiştiğine oranıdır. Kısacası, bir doğrunun dikliğini ölçer ve ‘m’ harfi ile gösterilir.

Eğim (m) = \(\frac{\text{Dikey Uzunluk (Yükseklik)}}{\text{Yatay Uzunluk (Uzaklık)}}\)

[Bir rampanın dikey ve yatay uzunluklarını gösteren model]

Örnek:

Bir rampa, yatayda 5 metre ilerlerken dikeyde 1 metre yükseliyorsa, bu rampanın eğimi:
m = \(\frac{1}{5}\) = 0,2’dir.

2. Koordinat Sisteminde Eğim

Koordinat sisteminde bir doğrunun eğimini bulmak için, doğru üzerindeki iki nokta arasında bir dik üçgen oluştururuz.

  • Pozitif Eğim (+): Doğru, soldan sağa doğru yukarı çıkıyorsa eğim pozitiftir.
  • Negatif Eğim (-): Doğru, soldan sağa doğru aşağı iniyorsa eğim negatiftir.
[Pozitif ve negatif eğimli doğruların grafiği]

3. Denklemden Eğim Bulma

Doğrusal denklemler genellikle \(y = mx + n\) şeklinde yazılır. Bu denklemde eğimi bulmak çok kolaydır!

❗ Bir denklem \(y = mx + n\) şeklinde yazıldığında, x’in katsayısı (m) her zaman doğrunun eğimini verir.

  • \(y = 3x + 5\) denkleminin eğimi m = 3‘tür.
  • \(y = -2x – 1\) denkleminin eğimi m = -2‘dir.
  • \(y = x\) denkleminin eğimi m = 1‘dir. (x’in önünde gizli bir 1 vardır)

Alıştırma Sorusu

\(2x + y = 5\) denkleminin eğimi kaçtır?

Çözüm:
1. Önce denklemi \(y = mx + n\) formatına getirmek için ‘y’yi yalnız bırakmalıyız.
2. \(2x\)’i eşitliğin diğer tarafına \(-2x\) olarak atalım: \(y = -2x + 5\).
3. Şimdi denklem istediğimiz formatta. x’in katsayısı -2 olduğuna göre, eğim (m) = -2‘dir.

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Grafikten Eğim Bulma

Koordinat sisteminde A(-1, 2) ve B(2, 8) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

A) \(\frac{1}{2}\)    B) 2    C) \(\frac{3}{5}\)    D) 3

Çözüm:
1. Dikey Değişim (Yükseklik): y değerleri arasındaki farka bakalım: \(8 – 2 = 6\) birim.
2. Yatay Değişim (Uzaklık): x değerleri arasındaki farka bakalım: \(2 – (-1) = 2 + 1 = 3\) birim.
3. Eğim: \(\frac{\text{Dikey Değişim}}{\text{Yatay Değişim}} = \frac{6}{3} = 2\).
Doğru Cevap: B

LGS Benzeri Soru 2: Denklem ve Eğim İlişkisi

\(ax – 3y = 9\) denklemiyle verilen doğrunun eğimi 2 olduğuna göre, ‘a’ kaçtır?

A) 2    B) 3    C) 4    D) 6

Çözüm:
1. Denklemi \(y = mx + n\) formatına getirmek için ‘y’yi yalnız bırakalım.
\(ax – 9 = 3y\)
\(\frac{ax}{3} – \frac{9}{3} = y \implies y = \frac{a}{3}x – 3\)
2. Bu denklemde eğim, x’in katsayısı olan \(\frac{a}{3}\)’tür.
3. Soruda eğimin 2 olduğu verilmiş. Eşitleyelim: \(\frac{a}{3} = 2 \implies a = 6\).
Doğru Cevap: D

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!


Online Eğim Testini Çöz*



8. Sınıf Öğrencisinin LGS Çalışma Programı

Çalışma Programları

8. Sınıflar için Haftalık Çalışma Programı

LGS Yolculuğunda Başarıya Giden Rehber: 8. Sınıf Öğrencisi Nasıl Çalışmalı?

Hayatının dönüm noktalarından biri olan LGS, sadece bir sınav değil; azmin, sabrın ve kararlılığın sınandığı bir yolculuktur. Bu yolda sağlam adımlarla ilerlemek isteyen her öğrenci için doğru çalışma programı hayati önem taşır. Ben de velilerden ve öğrencilerden gelen “LGS’ye girecek olan bir 8. sınıf öğrencisinin çalışma programı nasıl olmalıdır?” soruları artınca, sorunun cevabı için bu makaleyi hazırladım.

LGS: Şansa Bırakılmayacak Kadar Önemli

Sınav gözetmenliği yaptığım yıllarda sıkça gördüğüm bir tablo var: birçok öğrenci LGS’ye “belki tuttururum” düşüncesiyle giriyor. Ancak unutmayalım ki başarı, tesadüflerin değil, hazırlığın ürünüdür. Bu sınavı ciddiye alan öğrenciler, düzenli ve planlı çalışarak fark yaratıyor.

Her Gün Aynı Saatte, Aynı Kararlılıkla

Başarılı öğrencilerin ortak noktası: rutin. Her gün aynı saatlerde ders çalışmak, zihinsel disiplini artırır. Çalışma süreleri dengeli olmalı; ne çok uzun ne de çok kısa. Kısa molalarla bölünmüş verimli çalışma saatleri, öğrenmeyi kalıcı hale getirir.

Ana Dersler: Her Gün Türkçe, Matematik ve Fen

LGS’nin temel taşları olan Türkçe, Matematik ve Fen dersleri, her gün mutlaka çalışılmalıdır. Özellikle Türkçe’de paragraf soruları, okuma ve anlama becerilerini geliştirir. Yatmadan önce 15-20 paragraf sorusu çözmek, zihni aktif tutar ve başarıya katkı sağlar.

🧠 “Paragraf soruları, zihnin sporudur. Her gün çöz, zihnin güçlensin.”

Hedefsiz Yolculuk Olmaz: Günlük ve Haftalık Soru Planları

Her ders için hedef belirlemek, öğrencinin motivasyonunu artırır. Günlük ve haftalık soru sayıları, öğrencinin ilerlemesini görmesini sağlar. Hedefe ulaşmak için çaba göstermek, özgüveni artırır. Hedefin üzerine çıkmak ise başarıyı garantiler.

Başarı Formülü: Süreklilik + Sabır + İstikrar

💧 “Mermeri delen suyun şiddeti değil, düzenli akmasıdır.”

Bu söz, LGS hazırlığının özüdür. Bir gün çok çalışıp diğer günler hiç çalışmamak, başarıyı getirmez. Her gün aynı tempoda, aynı kararlılıkla çalışmak, öğrenciyi hedefine taşır.



8. Sınıfların Mutlaka Bilmesi Gereken Matematik Bilgileri

📚 Matematikte Temel Bilgiler: Çarpım Tablosu, Asal Sayılar, Kareler, Küpler ve 2’nin Kuvvetleri

Matematik öğrenirken bazı konular olmazsa olmaz! 💡 Bu yazıda, çarpım tablosu, asal sayılar, kareler, küpler ve 2’nin kuvvetleri konularını hem açıklamalar hem de renkli infografikler ile öğreniyoruz. Hazırsanız başlayalım! 🚀

Eğer bu konulara hakimsen hemen *Temel Bilgiler Testini Çöz*

✅ 1. Çarpım Tablosu (1’den 12’ye)

Çarpım tablosu, çarpma işlemini hızlı ve pratik şekilde yapabilmek için en önemli araçtır.
📌 İpucu: Ezberlemek yerine mantığını anlamaya çalışın!

Çarpım Tablosu

Alt metin: 1’den 12’ye kadar çarpım tablosu renkli infografik

🔍 2. 110’a Kadar Asal Sayılar

Asal sayılar, yalnızca 1 ve kendisine bölünebilen sayılardır. Matematiğin temel taşlarından biridir!
🎯 110’a Kadar Asal Sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103,107, 109. (Bölünebilme kuralları ile de hemen bulabilirsin)

*Renkli Olanlar Asal Sayılardır.

Alt metin: 110’a kadar asal sayılar renkli tablo

🔢 3. 30’a Kadar Sayıların Kareleri (n²)

Bir sayının karesi, kendisiyle çarpılmasıyla bulunur.
📌 Örnek: 5² = 25

Kareler

30’a kadar sayıların karelerini gösteren infografik

🧮 4. 10’a Kadar Sayıların Küpleri (n³)

Bir sayının küpü, kendisiyle üç kez çarpılmasıyla bulunur.
📌 Örnek: 3³ = 27

Küpler

10’a kadar sayıların küpleri infografik

⚡ 5. 2’nin Kuvvetleri (2⁰’dan 2¹²’ye)

Bilgisayar bilimlerinde ve matematikte sıkça kullanılan 2’nin kuvvetleri:
📌 Örnek: 2⁵ = 32

2’nin Kuvvetleri

2’nin kuvvetleri tablosu

🎯 Neden Bu Konular Önemli?

✔️ Matematikte hızlı işlem yapabilmek için,
✔️ Problem çözme becerilerini geliştirmek için,
✔️ Sınavlarda zaman kazanmak için.

🔖 Etiketler:

#matematik #çarpımtablosu #asalsayılar #kareler #küpler #ikininKuvvetleri #infografik #öğrenciler

💬 Siz hangi konuyu öğrenirken zorlanıyorsunuz? Yorumlarda paylaşın!



Doğrusal Denklemlerin Grafikleri

Doğrusal Denklemlerin Grafiğini Çizme

Bu interaktif sayfa ile doğrusal denklemlerin koordinat sisteminde nasıl bir doğru belirttiğini ve bu doğrunun grafiğini nasıl çizebileceğini öğreneceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

Çizdiğimiz bu doğrusal grafikler, mühendislikten ekonomiye, fizikten bilgisayar oyunlarına kadar birçok alanda gelecekteki durumları tahmin etmek (modellemek) için kullanılır!

1. Grafik Çizmenin En Kolay Yolu: Eksenleri Kesen Noktalar

❗ Bir doğrunun grafiğini çizmek için en az iki noktaya ihtiyacımız vardır. En kolay bulunan noktalar ise doğrunun x ve y eksenlerini kestiği yerlerdir.

  • x eksenini kestiği noktayı bulmak için: Denklemde y = 0 yazarız ve x’i buluruz. Bu bize (x, 0) noktasını verir.
  • y eksenini kestiği noktayı bulmak için: Denklemde x = 0 yazarız ve y’yi buluruz. Bu bize (0, y) noktasını verir.

Örnek: \(y = 2x – 4\) denkleminin grafiğini çizelim.

  1. x = 0 için:
    y = 2(0) – 4 \(\implies\) y = -4
    Demek ki doğru, y eksenini (0, -4) noktasında kesiyor.
  2. y = 0 için:
    0 = 2x – 4 \(\implies\) 4 = 2x \(\implies\) x = 2
    Demek ki doğru, x eksenini (2, 0) noktasında kesiyor.
  3. Çizim:
    Bu iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip birleştirdiğimizde denklemin grafiğini, yani doğrusunu çizmiş oluruz.

2. Eksenlere Paralel Doğrular

❗ Bazı doğrular apsis ve ordinat eksenlerine paralel olabilir .

  • x eksenine paralel olan doğrular y=a şeklindedir.(a bir tam sayıdır) Yani y=1 veya y=-5 gibi.
  • y eksenine paralel olan doğrular x=b şeklindedir.(b bir tam sayıdır). Yani x=2 veya x=-6 gibi.

Örnek: \(y = 3\) denkleminin grafiğini çizelim.

  1. y=3 için x farklı değerler alır:

    Demek ki doğru, y eksenini (0, 3) noktasında kesiyor.

  2. y = 3 için:
    x bütün tam sayı değerlerini alır

  3. Çizim:
    Bu iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyip birleştirdiğimizde denklemin grafiğini, yani doğrusunu çizmiş oluruz.

    4. [x= -3 ve y=3 doğrularının grafiği]

2. İnteraktif Grafik Çizimi

Aşağıdaki denklem için eksenleri kestiği noktaları bul ve grafiğin nasıl oluştuğunu gör!

Denklem: \(y = -x + 3\)

Eksenleri Kestiği Noktalar:

x = 0 için y = ?

y = 0 için x = ?

x = 0 için y = 3 \(\implies\) (0, 3)

y = 0 için x = 3 \(\implies\) (3, 0)

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Grafikten Denklem Bulma

Yanda grafiği verilen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

[Eksenleri x= -2 ve y=4 noktalarında kesen bir doğru grafiği]

A) y = 2x + 4    B) y = -2x + 4    C) y = x + 2    D) y = 4x + 2

Çözüm:
1. Grafik x eksenini (-2, 0) noktasında, y eksenini (0, 4) noktasında kesmektedir.
2. Şıklardaki denklemleri tek tek deneyelim:
A) y = 2x + 4: x=0 için y=4 (sağladı). y=0 için 0=2x+4 \(\implies\) x=-2 (sağladı).
Diğer şıkları kontrol etmeye gerek kalmadı.
Doğru Cevap: A

LGS Benzeri Soru 2: Alan Hesabı

\(y = -3x + 6\) doğrusu ve eksenler arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 3    B) 6    C) 9    D) 12

Çözüm:
1. Eksenleri kestiği noktaları bulalım. Bu noktalar, oluşacak dik üçgenin dik kenar uzunluklarını verecektir.
2. x = 0 için y = -3(0) + 6 \(\implies\) y = 6. (y eksenini 6’da keser, bir kenar 6 birim).
3. y = 0 için 0 = -3x + 6 \(\implies\) 3x = 6 \(\implies\) x = 2. (x eksenini 2’de keser, diğer kenar 2 birim).
4. Oluşan dik üçgenin alanı: (Dik Kenarlar Çarpımı) / 2 = \((6 \cdot 2) / 2 = 6\) birimkare.
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 1: Nokta Kontrolü

A(2, k) noktası \(y = 5x – 3\) doğrusu üzerinde olduğuna göre, k kaçtır?

A) 2    B) 5    C) 7    D) 10

Çözüm:
Bir nokta bir doğru üzerindeyse, noktanın koordinatları denklemi sağlamalıdır.
Denklemde x yerine 2, y yerine k yazalım:
k = 5(2) – 3
k = 10 – 3
k = 7
Doğru Cevap: C

Bursluluk Benzeri Soru 2: Eksenleri Kesen Noktalar

\(2x + 3y = 12\) denkleminin grafiğinin y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

A) 12    B) 6    C) 4    D) 2

Çözüm:
Bir doğrunun y eksenini kestiği noktada x değeri her zaman 0’dır.
Denklemde x=0 yazalım:
2(0) + 3y = 12
3y = 12
y = 4
Nokta (0, 4)’tür ve ordinatı 4’tür.
Doğru Cevap: C

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!



Doğrusal Denklemlerin Grafikleri Testini Çöz*



Doğrusal İlişki ve Doğrusal Denklemler

Doğrusal İlişkiler: Değişkenlerin Dansı

Bu interaktif sayfa ile aralarında doğrusal ilişki bulunan iki çokluğun birbiriyle nasıl değiştiğini tablo ve denklemle ifade etmeyi öğreneceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

Doğrusal ilişkiler hayatımızın her yerinde! Bir taksinin ücreti, zamana bağlı olarak biriken faiz, belirli bir hızla giden arabanın aldığı yol… Hepsi doğrusal ilişkilere harika birer örnektir.

1. Doğrusal İlişki Nedir?

İki değişkenden biri düzenli aralıklarla artarken veya azalırken, diğeri de aynı şekilde düzenli aralıklarla artıyor veya azalıyorsa, bu iki değişken arasında doğrusal bir ilişki vardır.

  • Bağımsız Değişken: Değeri başka bir şeye bağlı olmayan, bizim kontrol edebildiğimiz değişkendir (Genellikle ‘x’ ile gösterilir).
  • Bağımlı Değişken: Değeri bağımsız değişkene göre değişen değişkendir (Genellikle ‘y’ ile gösterilir).

Örnek: Bir kumbarada başlangıçta 10 TL var ve her gün kumbaraya 5 TL atılıyor.
– Geçen gün sayısı bağımsız değişkendir (x).
– Kumbaradaki toplam para miktarı bağımlı değişkendir (y), çünkü gün sayısına bağlı olarak değişir.

2. İlişkiyi Tablo ve Grafikle Gösterme

❗ Doğrusal ilişkileri en net görebileceğimiz yöntemlerden biri tablo oluşturmaktır. Tabloda bağımsız değişkenin her bir adımı için bağımlı değişkenin nasıl değiştiğini inceleriz.

Örnek: Kumbara Problemi

Başlangıçta 10 TL olan ve her gün 5 TL eklenen kumbaranın durumunu tablo ile gösterelim.

Geçen Gün (x) Kumbaradaki Para (y)
0 10 TL
1 15 TL
2 20 TL
3 25 TL

Dikkat edersen, ‘x’ birer birer artarken, ‘y’ her seferinde beşer beşer artıyor. Bu düzenli artış, aralarında doğrusal bir ilişki olduğunu gösterir.

Bu tabloyu bir de çizgi grafiği üzerinde görelim. Yatay eksen günleri (x), dikey eksen ise para miktarını (y) gösterir. Noktaların düz bir çizgi oluşturduğuna dikkat et!

Alıştırma Sorusu

Boyu 20 cm olan bir fidan her hafta 3 cm uzamaktadır. Fidanın boyunun zamana göre değişimini gösteren 4 haftalık bir tablo oluşturunuz.

Geçen Hafta (x) Fidanın Boyu (y)
0 20 cm
1 23 cm
2 26 cm
3 29 cm
4 32 cm

3. İlişkiyi Denklemle İfade Etme

Doğrusal ilişkiler \(y = mx + n\) şeklinde bir denklemle ifade edilebilir.

  • y: Bağımlı değişken
  • x: Bağımsız değişken
  • m: Değişim Miktarı (x bir arttığında y’nin ne kadar arttığı/azaldığı)
  • n: Başlangıç Değeri (x=0 olduğunda y’nin değeri)

Örnek: Kumbara Denklemi

Kumbara örneğimizde; y (para miktarı), x (gün sayısı) olmak üzere:
– Başlangıç değeri (n) = 10 TL
– Değişim miktarı (m) = +5 TL/gün
O halde denklemimiz: \(y = 5x + 10\) olur.

Alıştırma Sorusu

Taksi ücreti, açılışta 15 TL ve gidilen her kilometre için 10 TL olarak belirlenmiştir. Gidilen yol (x) ile ödenecek ücret (y) arasındaki ilişkiyi denklem ile ifade ediniz.

Çözüm:
– Bağımsız değişken (x): Gidilen yol (km)
– Bağımlı değişken (y): Toplam ücret (TL)
– Başlangıç değeri (n): 15 TL (hiç yol gidilmese bile ödenir)
– Değişim miktarı (m): 10 TL (her km için)
Denklem: \(y = 10x + 15\)

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Denklem Bulma

Bir su deposunda 500 litre su bulunmaktadır. Bu depodan her saat 25 litre su kullanılmaktadır. Geçen süre (t, saat) ile depoda kalan su miktarı (S, litre) arasındaki doğrusal ilişkiyi gösteren denklem aşağıdakilerden hangisidir?

A) S = 500 + 25t    B) S = 25t – 500    C) S = 500 – 25t    D) t = 500 – 25S

Çözüm:
1. Bağımlı Değişken: Depoda kalan su (S).
2. Bağımsız Değişken: Geçen süre (t).
3. Başlangıç Değeri: Depoda başlangıçta 500 litre su var.
4. Değişim Miktarı: Her saat 25 litre su azaldığı için değişim -25’tir.
5. Denklemimiz: Kalan Su = Başlangıçtaki Su – Harcanan Su. Yani, \(S = 500 – 25t\).
Doğru Cevap: C

LGS Benzeri Soru 2: Tablodan Denklem Bulma

Aşağıdaki tablo, bir aracın gittiği yola (x) göre deposunda kalan benzin miktarını (y) göstermektedir. Bu ilişkiyi gösteren denklem hangisidir?

Gidilen Yol (x km) Kalan Benzin (y L)
0 60
100 52
200 44

A) y = 60 – 8x    B) y = 60 – 0.08x    C) y = 60 – 1.25x    D) x = 60 – 0.08y

Çözüm:
1. Başlangıç Değeri: x=0 iken y=60. Yani depoda başta 60 L benzin var.
2. Değişim Miktarı: Araç 100 km yol gidince benzin 60’tan 52’ye düşmüş, yani 8 L azalmış. O halde 1 km’de ne kadar azaldığını bulalım: \(8 L / 100 km = 0.08 L/km\). Azaldığı için değişim -0.08’dir.
3. Denklemimiz \(y = mx + n\) formülüne göre (burada m negatif): \(y = -0.08x + 60\) veya \(y = 60 – 0.08x\).
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 1: Değer Bulma

Bir işçinin alacağı maaş (y), çalıştığı gün (x) sayısına göre \(y = 150x + 200\) denklemi ile hesaplanmaktadır. Bu işçi 10 gün çalıştığında kaç TL maaş alır?

A) 1500    B) 1700    C) 2150    D) 350

Çözüm:
Denklemde çalışılan gün sayısı (x) yerine 10 yazarak alacağı maaşı (y) buluruz.
y = 150(10) + 200
y = 1500 + 200
y = 1700
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 2: Tablo Tamamlama

x ve y arasında \(y = 4x – 2\) doğrusal ilişkisi vardır. Aşağıdaki tabloda A yerine hangi sayı gelmelidir?

x y
1 2
2 6
3 A

A) 8    B) 9    C) 10    D) 12

Çözüm:
A değerini bulmak için, denklemde x gördüğümüz yere 3 yazarız.
y = 4(3) – 2
y = 12 – 2
y = 10. O halde A=10’dur.
Doğru Cevap: C

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!



Online Doğrusal İlişki ve Doğrusal Denklemler Testini Çöz*



Kartezyen Koordinat Sistemi

Koordinat Sistemi

Bu interaktif sayfa ile iki sayı doğrusunun birleşerek oluşturduğu harika bir sistemi, yani koordinat sistemini ve noktaların bu sistemdeki yerlerini öğreneceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

Koordinat sisteminin mucidi René Descartes’ın, bu fikri yatağında tavandaki bir sineğin konumunu nasıl belirleyeceğini düşünürken bulduğu söylenir. Bir sinek, matematiği değiştirdi!

1. Koordinat Sistemi Nedir?

İki sayı doğrusunun sıfır (0) noktasında dik kesişmesiyle oluşan sisteme kartezyen koordinat sistemi denir. Bu sistem, düzlemdeki bir noktanın konumunu belirtmek için kullanılır.

[Koordinat Sistemi Eksenlerinin bir resmi]
  • x ekseni (Apsisler Ekseni): Yatay olan sayı doğrusudur.
  • y ekseni (Ordinatlar Ekseni): Dikey olan sayı doğrusudur.
  • Orijin: Eksenlerin kesiştiği (0,0) noktasıdır.
  • Sıralı İkili: Bir noktanın konumunu belirten (x, y) şeklindeki sayı çiftidir. İlk sayı (apsis) x eksenindeki, ikinci sayı (ordinat) y eksenindeki yeri gösterir.

2. Koordinat Düzleminin Bölgeleri

❗ Eksenler, koordinat düzlemini saat yönünün tersine doğru numaralandırılan 4 bölgeye ayırır. Her bölgedeki noktaların x ve y değerlerinin işaretleri bellidir.

[Koordinat Sistemi Bölgelerinin bir resmi]
  • 1. Bölge: x pozitif (+), y pozitif (+)
  • 2. Bölge: x negatif (-), y pozitif (+)
  • 3. Bölge: x negatif (-), y negatif (-)
  • 4. Bölge: x pozitif (+), y negatif (-)

Alıştırma Sorusu

A(-3, 5), B(4, -1) ve C(-2, -6) noktaları sırasıyla hangi bölgelerdedir?

Çözüm:
Noktaların x ve y değerlerinin işaretlerine bakarak bölgeleri buluruz:

  • A(-3, 5): x negatif, y pozitif \(\implies\) 2. Bölge
  • B(4, -1): x pozitif, y negatif \(\implies\) 4. Bölge
  • C(-2, -6): x negatif, y negatif \(\implies\) 3. Bölge

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Alan Hesabı

Köşe koordinatları A(-3, 2), B(4, 2), C(4, -3) ve D(-3, -3) olan ABCD dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?

A) 21    B) 28    C) 35    D) 49

Çözüm:
1. Noktaları incelediğimizde, A ve B’nin y değerleri, C ve D’nin y değerleri eşittir. A ve D’nin x değerleri, B ve C’nin x değerleri eşittir. Bu bir dikdörtgendir.
2. Yatay Kenar Uzunluğu (AB): x değerleri arasındaki farka bakarız: \(4 – (-3) = 4 + 3 = 7\) birim.
3. Dikey Kenar Uzunluğu (BC): y değerleri arasındaki farka bakarız: \(2 – (-3) = 2 + 3 = 5\) birim.
4. Alan: Kenar uzunluklarını çarparız: \(7 \cdot 5 = 35\) birimkare.
Doğru Cevap: C

LGS Benzeri Soru 2: Eksenlere Uzaklık

K(a+2, b-3) noktası orijin üzerinde olduğuna göre, M(b, a) noktası hangi bölgededir?

A) 1. Bölge    B) 2. Bölge    C) 3. Bölge    D) 4. Bölge

Çözüm:
1. Bir nokta orijin üzerindeyse koordinatları (0,0)’dır.
2. Apsis’i sıfıra eşitleyelim: \(a+2 = 0 \implies a = -2\).
3. Ordinat’ı sıfıra eşitleyelim: \(b-3 = 0 \implies b = 3\).
4. M(b, a) noktasının koordinatlarını bulalım: M(3, -2).
5. M noktasının apsisi pozitif (+), ordinatı negatiftir (-). Bu nedenle nokta 4. Bölgededir.
Doğru Cevap: D

Bursluluk Benzeri Soru 1: Eksenler Üzerindeki Noktalar

A(m-4, 5) noktası y ekseni üzerinde ve B(8, n+3) noktası x ekseni üzerinde olduğuna göre, m+n toplamı kaçtır?

A) -1    B) 0    C) 1    D) 7

Çözüm:
1. y ekseni üzerindeki noktaların apsisi (x değeri) 0’dır. O halde A noktası için: \(m-4 = 0 \implies m = 4\).
2. x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı (y değeri) 0’dır. O halde B noktası için: \(n+3 = 0 \implies n = -3\).
3. Toplamları: \(m+n = 4 + (-3) = 1\).
Doğru Cevap: C

Bursluluk Benzeri Soru 2: Bölge Tespiti

A(a,b) noktası 3. bölgede ise B(-a, b) noktası hangi bölgededir?

A) 1. Bölge    B) 2. Bölge    C) 3. Bölge    D) 4. Bölge

Çözüm:
1. A(a,b) noktası 3. bölgede ise hem apsisi hem de ordinatı negatiftir. Yani, \(a < 0\) ve \(b < 0\).
2. B(-a, b) noktasının koordinatlarının işaretlerini bulalım:
– Apsisi: \(-a\). ‘a’ negatif olduğu için, \(-a\) pozitif olur. (Örn: -(-2) = +2)
– Ordinatı: \(b\). ‘b’ negatiftir.
3. B noktasının koordinatları (+, -) şeklindedir. Apsisi pozitif, ordinatı negatif olan noktalar 4. Bölgededir.
Doğru Cevap: D

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!



Online Koordinat Sistemi Testini Çöz*



Rasyonel Denklemler

Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler

Bu interaktif sayfa ile içinde bilinmeyen bulunan kesirli (rasyonel) ifadelerden oluşan denklemleri nasıl çözeceğini öğreneceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

Rasyonel denklemler, mühendislikte elektrik devrelerindeki dirençleri hesaplamaktan, ekonomide maliyet analizlerine kadar birçok gerçek hayat probleminde kullanılır!

1. Rasyonel Denklem Çözme Yöntemleri

Rasyonel denklemleri çözerken temel amacımız, paydalardan kurtularak denklemi daha basit bir hale getirmektir. Bunun için genellikle iki ana yöntem kullanılır.

Payda Eşitleme Yöntemi

Eğer denklemde toplama veya çıkarma işlemi varsa, kesirlerde olduğu gibi önce paydaları eşitleriz.

Örnek: \( \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5 \) denklemini çözelim.

  • Paydaları 6’da eşitleyelim: \( \frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = 5 \)
  • Kesirleri toplayalım: \( \frac{5x}{6} = 5 \)
  • İçler-dışlar çarpımı yapalım: \( 5x = 6 \cdot 5 \implies 5x = 30 \)
  • Her iki tarafı 5’e bölelim: \( x = 6 \)

İçler-Dışlar Çarpımı Yöntemi

Eşitliğin her iki tarafında da tek bir kesir varsa, en pratik yol içler-dışlar çarpımı yapmaktır.

Örnek: \( \frac{x+14}{2x} = 4 \) denklemini çözelim. (4’ün paydası 1’dir)

  • İçler-dışlar çarpımı yapalım: \( (x+14) \cdot 1 = 4 \cdot (2x) \)
  • Denklemi düzenleyelim: \( x+14 = 8x \)
  • Bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım: \( 14 = 8x – x \implies 14 = 7x \)
  • Her iki tarafı 7’ye bölelim: \( x = 2 \)

Alıştırma Sorusu

\( \frac{x-1}{3} = \frac{x+1}{4} \) denklemini çözünüz.

Çözüm:
İçler-dışlar çarpımı yöntemini kullanalım:
\( 4 \cdot (x-1) = 3 \cdot (x+1) \)
\( 4x – 4 = 3x + 3 \)
\( 4x – 3x = 3 + 4 \)
\( x = 7 \)
Sonuç: x = 7

2. Kritik Nokta: Paydayı Sıfır Yapan Değerler

⚠️ Rasyonel denklemlerde en önemli kural, paydanın asla sıfır olmamasıdır. Bir kesrin paydası sıfır olursa, ifade tanımsız olur. Bu nedenle, denklemi çözdükten sonra bulduğumuz ‘x’ değeri, denklemin orijinal halindeki paydalardan herhangi birini sıfır yapıyorsa, bu değer çözüm kümesine dahil edilemez.

Örnek

\( \frac{4x-10}{x-5} = \frac{10}{x-5} – \frac{6}{5} \) denklemini çözelim.

  • Kesirli ifadeleri bir tarafa toplayalım: \( \frac{4x-10}{x-5} – \frac{10}{x-5} = -\frac{6}{5} \)
  • Paydalar eşit olduğu için payları çıkaralım: \( \frac{4x-10-10}{x-5} = -\frac{6}{5} \implies \frac{4x-20}{x-5} = -\frac{6}{5} \)
  • Paydaki ifadeyi 4 parantezine alalım: \( \frac{4(x-5)}{x-5} = -\frac{6}{5} \). Burada \(x \neq 5\) olmalıdır.
  • \( (x-5) \) ifadeleri sadeleşir: \( 4 = -\frac{6}{5} \)
  • Bu eşitlik hiçbir zaman doğru değildir. Ancak, ilk adımdan devam edip içler-dışlar yapsaydık: \( 5(4x-20) = -6(x-5) \implies 20x-100 = -6x+30 \implies 26x=130 \implies x=5 \).
  • Bulduğumuz \(x=5\) değeri, denklemin orijinalindeki paydayı \(5-5=0\) yaptığı için bir çözüm değildir.
  • Bu durumda denklemin Çözüm Kümesi Boş Kümedir (\(\emptyset\)).

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Havuz Problemi

Boş bir havuzu A musluğu tek başına 10 saatte, B musluğu ise tek başına 15 saatte doldurmaktadır. İki musluk birlikte 2 saat açık kaldıktan sonra A musluğu kapatılıyor. Kalan kısmı B musluğu tek başına kaç saatte doldurur?

A) 5    B) 8    C) 10    D) 12

Çözüm:
1. Birim zamanda ne kadar iş yaptıklarını bulalım: A musluğu 1 saatte havuzun \(1/10\)’unu, B musluğu \(1/15\)’ini doldurur.
2. İkisi birlikte 1 saatte: \( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \)’sını doldurur.
3. 2 saatte doldurdukları kısım: \( 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
4. Havuzun kalan kısmı: \( 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).
5. Kalan kısmı B musluğu t saatte doldursun: \( t \cdot \frac{1}{15} = \frac{2}{3} \). Buradan \( t = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10 \) saat bulunur.
Doğru Cevap: C

LGS Benzeri Soru 2: Yol Problemi

Bir araç A şehrinden B şehrine saatte V km hızla 6 saatte gitmektedir. Eğer araç hızını 20 km/saat artırırsa aynı yolu 4 saatte gidecektir. Buna göre A ile B şehirleri arası kaç km’dir?

A) 120    B) 180    C) 240    D) 300

Çözüm:
1. Yol = Hız x Zaman formülünü kullanalım. Yol (X) sabittir.
2. İlk durum: \( X = V \cdot 6 \)
3. İkinci durum: \( X = (V+20) \cdot 4 \)
4. İki denklem de X’e eşit olduğuna göre birbirlerine eşitleyebiliriz: \( 6V = 4(V+20) \)
5. Denklemi çözelim: \( 6V = 4V + 80 \implies 2V = 80 \implies V = 40 \) km/saat.
6. Yolu bulalım: \( X = 6V = 6 \cdot 40 = 240 \) km.
Doğru Cevap: C

Bursluluk Benzeri Soru 1: Denklem Çözme

\( \frac{3}{x} + \frac{1}{2} = \frac{5}{x} \) denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) \(\{-4\}\)    B) \(\{2\}\)    C) \(\{4\}\)    D) \(\emptyset\)

Çözüm:
1. Bilinmeyenleri bir tarafa toplayalım: \( \frac{1}{2} = \frac{5}{x} – \frac{3}{x} \)
2. Sağ tarafta işlemi yapalım: \( \frac{1}{2} = \frac{2}{x} \)
3. İçler-dışlar çarpımı yapalım: \( 1 \cdot x = 2 \cdot 2 \implies x=4 \)
4. Kontrol: \(x=4\) paydayı sıfır yapmıyor. O halde çözümdür.
Doğru Cevap: C

Bursluluk Benzeri Soru 2: Tanımsızlık

\( \frac{x+2}{x-a} = 5 \) denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, ‘a’ kaçtır?

A) -2    B) 0    C) 2    D) 5

Çözüm:
Bir rasyonel denklemin çözüm kümesinin boş küme olmasının bir yolu, bulunan kökün paydayı sıfır yapmasıdır.
1. Denklemi normal şekilde çözelim: \( x+2 = 5(x-a) \implies x+2 = 5x-5a \)
\( 5a+2 = 4x \implies x = \frac{5a+2}{4} \)
2. Bu bulduğumuz x değerinin paydayı sıfır yapması gerekir. Paydamız \(x-a\)’dır.
\( x-a = 0 \implies x = a \)
3. İki x değerini birbirine eşitleyelim: \( a = \frac{5a+2}{4} \implies 4a = 5a+2 \implies -a = 2 \implies a = -2 \)
Doğru Cevap: A

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!


Rasyonel Denklemler Testini Çöz*



Cebir Karoları ile Çarpanlara Ayırma

Cebir Karoları ile Çarpanlara Ayırma

Bu interaktif sayfa ile cebirsel ifadeleri somut materyaller kullanarak nasıl çarpanlarına ayırabileceğini görsel bir şekilde öğreneceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

Cebir karoları, eski matematikçilerin geometri kullanarak cebir problemlerini nasıl çözdüğünü modern bir şekilde canlandırır. Alan hesaplaması, aslında çarpanlara ayırmanın ilk ve en somut halidir!

1. Cebir Karolarını Tanıyalım

Çarpanlara ayırma yaparken üç temel karo kullanırız. Her bir karo, alanıyla bir cebirsel terimi temsil eder.

x² x x
Alan = x²
x 1 x
Alan = x
1 1 1
Alan = 1

2. Karolarla Dikdörtgen Oluşturma Yöntemi

❗ Çarpanlara ayırmanın temel mantığı, verilen cebirsel ifadeyi temsil eden karoları kullanarak tam bir dikdörtgen (veya kare) oluşturmaktır. Oluşturulan bu dikdörtgenin kenar uzunlukları, ifadenin çarpanlarını verir.

Örnek: \(x^2 + 3x + 2\) ifadesini modelleyelim

Bu ifade için 1 tane \(x^2\) karosu, 3 tane \(x\) karosu ve 2 tane \(1\)’lik karoya ihtiyacımız var. Bu karoları bir araya getirerek bir dikdörtgen oluşturalım.

x² x x x 1 1

x 1 1 x 1

(x + 2) (x + 1)

Oluşan dikdörtgenin kenarları \((x+1)\) ve \((x+2)\) oldu.
O halde, \(x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)\)

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Modelden İfade Bulma

Aşağıda cebir karoları ile modellenen dikdörtgenin alanını veren cebirsel ifade hangisidir?

(2x) (x + 1)

A) \(2x^2 + x\)    B) \(2x^2 + 2x\)    C) \(x^2 + 2x\)    D) \(2x+1\)

Çözüm:
Modeldeki karoları sayalım: 2 tane \(x^2\) karosu ve 2 tane \(x\) karosu vardır. Bu karoların alanları toplamı \(2x^2 + 2x\)’tir.
Diğer bir yolla, oluşan dikdörtgenin kenarlarına bakalım: Bir kenarı \(x+x=2x\), diğer kenarı \(x+1\)’dir. Bu iki kenarı çarparsak alanı buluruz: \(2x \cdot (x+1) = 2x^2 + 2x\).
Doğru Cevap: B

LGS Benzeri Soru 2: Eksik Parçayı Bulma

\(x^2 + 4x + 4\) cebirsel ifadesini cebir karolarıyla tam bir kare şeklinde modellemek isteyen bir öğrencinin elinde 1 tane \(x^2\) karosu ve 4 tane \(x\) karosu vardır. Modelini tamamlayabilmesi için kaç tane 1’lik karoya ihtiyacı vardır?

A) 1    B) 2    C) 4    D) 16

Çözüm:
1. Verilen ifade \(x^2 + 4x + 4\) bir tam kare özdeşliğidir: \((x+2)^2\).
2. Bu modelin bir kenarı \((x+2)\), diğer kenarı da \((x+2)\) olmalıdır.
3. Modeli gözümüzde canlandıralım: Ortada 1 tane \(x^2\) karosu olur. Kenarlarına 4 tane \(x\) karosunu (2’si bir yana, 2’si diğer yana) yerleştirdiğimizde, köşede \(2 \times 2\)’lik bir boşluk kalır.
4. Bu boşluğu doldurmak için \(2 \cdot 2 = 4\) tane 1’lik karoya ihtiyaç vardır. Zaten ifadenin sabit terimi de 4’tür.
Doğru Cevap: C

Bursluluk Benzeri Soru 1: Modelin Çarpanları

Cebir karolarıyla modellenen yandaki karenin kenar uzunlukları (çarpanları) aşağıdakilerden hangisidir?

(x + 1) (x + 1)

A) \(x\) ve \(x+1\)
B) \(x^2\) ve \(2x+1\)
C) \((x+1)\) ve \((x+1)\)
D) \((x+1)\) ve \((x-1)\)

Çözüm:
Modeli incelediğimizde, oluşan şeklin bir kenarının \(x\) karosu ve 1’lik karodan, diğer kenarının da yine \(x\) karosu ve 1’lik karodan oluştuğunu görürüz. Dolayısıyla her iki kenarı da \((x+1)\)’dir. Bu bir karedir.
Doğru Cevap: C

Bursluluk Benzeri Soru 2: Modelin Alanı

Bir kenarı \((x+3)\), diğer kenarı 2 olan bir dikdörtgen cebir karolarıyla modelleniyor. Bu modelde toplam kaç adet karo kullanılmıştır?

A) 5    B) 6    C) 8    D) 9

Çözüm:
1. Önce dikdörtgenin alanını bulalım: \(2 \cdot (x+3) = 2x + 6\).
2. Bu cebirsel ifadeyi temsil etmek için gereken karo sayılarını bulalım:
\(2x \rightarrow\) 2 tane \(x\) karosu.
\(+6 \rightarrow\) 6 tane 1’lik karo.
3. Toplam karo sayısı: \(2 + 6 = 8\).
Doğru Cevap: C

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!





Kareköklü Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemleri

Kareköklü Sayılarda Çarpma ve Bölme

Bu interaktif sayfa ile “Kareköklü Sayılarda Çarpma ve Bölme” konusunu eğlenceli bir şekilde öğreneceksiniz.

💡 Biliyor muydunuz?

Fizikte, bir cismin serbest düşme süresini hesaplarken \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\) formülü kullanılır. Gördüğünüz gibi, kareköklü sayılarla bölme işlemi hayatın her alanında karşımıza çıkabilir!

1. Kareköklü Sayılarda Çarpma İşlemi

❗ Kareköklü sayılarla çarpma işlemi yaparken katsayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar da kendi arasında çarpılır. Sonuç, gerekirse \(a\sqrt{b}\) şeklinde sadeleştirilir.

Genel Kural: \(x\sqrt{a} \cdot y\sqrt{b} = x \cdot y \sqrt{a \cdot b}\)

Örnekler

  1. Temel Çarpma: \(4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} = (4 \cdot 2)\sqrt{3 \cdot 2} = 8\sqrt{6}\)
  2. Kökten Çıkarma: \(\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{6} = 4\sqrt{6 \cdot 6} = 4\sqrt{36} = 4 \cdot 6 = 24\)
  3. Önemli Kısayol: Bir kareköklü sayı kendisiyle çarpıldığında kök ortadan kalkar! \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a\). Örneğin: \(\sqrt{13} \cdot \sqrt{13} = 13\)

2. Kareköklü Sayılarda Bölme İşlemi

❗ Kareköklü sayılarla bölme işlemi yaparken de kural çarpmaya benzer: Katsayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar da kendi arasında ortak bir kök içinde bölünür.

Genel Kural: \(\frac{x\sqrt{a}}{y\sqrt{b}} = \frac{x}{y}\sqrt{\frac{a}{b}}\)

Örnekler

  1. Temel Bölme: \(\frac{12\sqrt{10}}{4\sqrt{5}} = \frac{12}{4}\sqrt{\frac{10}{5}} = 3\sqrt{2}\)
  2. Sadeleştirme: \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{125}} = \sqrt{\frac{5}{125}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}\)

Geçmiş Yıllarda Çıkmış Soru Tipleri (LGS Benzeri)

Soru 1: Dikdörtgenin Alanı

Kısa kenarının uzunluğu \(3\sqrt{2}\) cm ve uzun kenarının uzunluğu \(7\sqrt{3}\) cm olan bir dikdörtgenin alanı kaç cm²’dir?

A) \(10\sqrt{5}\)    B) \(21\sqrt{6}\)    C) \(21\sqrt{5}\)    D) \(10\sqrt{6}\)

Çözüm: Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır.
Alan = \( (3\sqrt{2}) \cdot (7\sqrt{3}) \)
Alan = \( (3 \cdot 7) \sqrt{2 \cdot 3} \)
Alan = \( 21\sqrt{6} \) cm².
Doğru Cevap: B

Soru 2: Alanı Verilen Dikdörtgenin Kenarını Bulma

Alanı \(20\sqrt{15}\) cm² olan bir dikdörtgenin bir kenarının uzunluğu \(2\sqrt{5}\) cm ise diğer kenarının uzunluğu kaç cm’dir?

A) \(10\sqrt{3}\)    B) \(18\sqrt{3}\)    C) \(10\sqrt{75}\)    D) \(22\sqrt{20}\)

Çözüm: Dikdörtgenin diğer kenarını bulmak için alanı, verilen kenar uzunluğuna böleriz.
Diğer Kenar = \(\frac{20\sqrt{15}}{2\sqrt{5}}\)
Diğer Kenar = \(\frac{20}{2}\sqrt{\frac{15}{5}}\)
Diğer Kenar = \(10\sqrt{3}\) cm.
Doğru Cevap: A

Soru 3: Üçgenin Alanı

Bir üçgenin taban uzunluğu \(\sqrt{72}\) cm ve bu tabana ait yüksekliği \(\sqrt{32}\) cm’dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²’dir?

A) 24    B) 48    C) \(\sqrt{2304}\)    D) \(24\sqrt{2}\)

Çözüm: Üçgenin alanı = \(\frac{Taban \cdot Yükseklik}{2}\). Önce sayıları \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazalım.
Taban: \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\) cm.
Yükseklik: \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\) cm.
Alan = \(\frac{6\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}}{2} = \frac{24\sqrt{4}}{2} = \frac{24 \cdot 2}{2} = 24\) cm².
Doğru Cevap: A

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!


Online Kareköklü Sayılarda Çarpma ve Bölme İşlemleri Testini Çöz



Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri

Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Bu interaktif sayfa ile “Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma” konusunu eğlenceli bir şekilde öğreneceksiniz.

💡 Biliyor muydunuz?

Doğada ve sanatta sıkça karşılaşılan Altın Oran \(\phi\), \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) olarak ifade edilir. Yani bu meşhur oranın içinde bir karekök gizlidir!

1. Toplama ve Çıkarma Kuralı

❗ Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Kök içleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır, sonuç ortak kökün önüne katsayı olarak yazılır.

Tıpkı “3 elma + 2 elma = 5 elma” der gibi, “3√2 + 2√2 = 5√2” diyebiliriz.

Örnekler

  1. Toplama: 7√3 + 2√3 = (7+2)√3 = 9√3
  2. Çıkarma: 9√5 - 3√5 = (9-3)√5 = 6√5
  3. Katsayısı 1 Olanlar: √7 + √7 + √7 = (1+1+1)√7 = 3√7
⚠️ Dikkat: Kök içleri farklıysa toplama veya çıkarma yapılamaz!
Örneğin, √2 + √3 işlemi bu şekilde kalır, √5‘e eşit değildir.

2. 🔧 Kök İçlerini Eşitleme

Bazen sayılar ilk bakışta farklı köklere sahip gibi görünebilir. Bu durumda, sayıları a√b şeklinde yazarak kök içlerini eşitlemeye çalışırız.

Adım Adım Kök Eşitleme (Örnek: √75 + √12)

  1. Sayıları a√b şeklinde yazın:
    • √75 = √(25 . 3) = 5√3
    • √12 = √(4 . 3) = 2√3
  2. Kök içleri artık aynı! İşlemi yapın:
    5√3 + 2√3 = (5+2)√3 = 7√3

Karmaşık Bir Örnek

Örnek İşlem: \(\sqrt{75}+\sqrt{12}-\sqrt{48}\)

1. Adım (a√b):  5√3 + 2√3 - 4√3
2. Adım (Katsayılar): (5 + 2 - 4)√3
3. Adım (Sonuç): 3√3

Geçmiş Yıllarda Çıkmış Soru Tipleri (LGS Benzeri)

Soru 1: Geometrik Şekiller ve Çevre

Uzun kenarı \(\sqrt{128}\) cm ve kısa kenarı \(\sqrt{32}\) cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun çevresi kaç cm’dir?

A) \(10\sqrt{2}\)    B) \(12\sqrt{2}\)    C) \(24\sqrt{2}\)    D) \(\sqrt{160}\)

Çözüm: Önce kenar uzunluklarını a√b şeklinde yazalım.
Uzun kenar: \(\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}\) cm.
Kısa kenar: \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\) cm.
Çevre = 2 * (Uzun Kenar + Kısa Kenar)
Çevre = 2 * (\(8\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\)) = 2 * (\(12\sqrt{2}\)) = \(24\sqrt{2}\) cm.
Doğru Cevap: C

Soru 2: Kalan Miktarı Bulma

Bir terzi, \(\sqrt{200}\) metre uzunluğundaki bir kumaşın önce \(\sqrt{18}\) metrelik, sonra \(\sqrt{50}\) metrelik kısmını kullanıyor. Geriye kaç metre kumaş kalmıştır?

A) \(2\sqrt{2}\)    B) \(3\sqrt{2}\)    C) \(8\sqrt{2}\)    D) \(\sqrt{132}\)

Çözüm: Tüm ifadeleri a√b şeklinde yazalım.
Toplam Kumaş: \(\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}\) m.
Kullanılan 1: \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\) m.
Kullanılan 2: \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\) m.
Toplam kullanılan: \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\) m.
Kalan Kumaş: \(10\sqrt{2} – 8\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\) m.
Doğru Cevap: A

Soru 3: Alan ve Çıkarma İşlemi

Alanı 180 cm² olan kare şeklindeki bir kartonun içinden, alanı 45 cm² olan kare şeklinde bir parça kesilip çıkarılıyor. Kalan şeklin çevresi kaç cm’dir?

A) \(12\sqrt{5}\)    B) \(18\sqrt{5}\)    C) \(24\sqrt{5}\)    D) \(30\sqrt{5}\)

Çözüm: Karenin alanı kenarının karesidir, yani kenarı alanın kareköküdür.
Büyük karenin bir kenarı: \(\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}\) cm.
Küçük karenin bir kenarı: \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\) cm.
Şekil kesildiğinde, büyük karenin çevresinden iki kenar eksilir ama yerine küçük karenin iki kenarı eklenir. Bu tip sorularda çevre genellikle artar. Yeni çevre: Büyük karenin çevresi + Küçük karenin 2 kenarı.
Büyük Çevre: \(4 \cdot 6\sqrt{5} = 24\sqrt{5}\) cm.
Eklenen Çevre: \(2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\) cm.
Toplam Çevre: \(24\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 30\sqrt{5}\) cm. Doğru Cevap: D

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!


Not: Eğer kareköklü sayının zaten (4√27) katsayısı var ise dışarı çıkan sayı katsayı ile çarpılır!(4√27=4.3√3=12√3)

Online Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemleri Testini Çöz.