Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma

Bu interaktif sayfa ile “Kareköklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma” konusunu eğlenceli bir şekilde öğreneceksiniz.

💡 Biliyor muydunuz?

Doğada ve sanatta sıkça karşılaşılan Altın Oran \(\phi\), \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) olarak ifade edilir. Yani bu meşhur oranın içinde bir karekök gizlidir!

1. Toplama ve Çıkarma Kuralı

❗ Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için kök içlerinin aynı olması gerekir. Kök içleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır veya çıkarılır, sonuç ortak kökün önüne katsayı olarak yazılır.

Tıpkı “3 elma + 2 elma = 5 elma” der gibi, “3√2 + 2√2 = 5√2” diyebiliriz.

Örnekler

  1. Toplama: 7√3 + 2√3 = (7+2)√3 = 9√3
  2. Çıkarma: 9√5 - 3√5 = (9-3)√5 = 6√5
  3. Katsayısı 1 Olanlar: √7 + √7 + √7 = (1+1+1)√7 = 3√7
⚠️ Dikkat: Kök içleri farklıysa toplama veya çıkarma yapılamaz!
Örneğin, √2 + √3 işlemi bu şekilde kalır, √5‘e eşit değildir.

2. 🔧 Kök İçlerini Eşitleme

Bazen sayılar ilk bakışta farklı köklere sahip gibi görünebilir. Bu durumda, sayıları a√b şeklinde yazarak kök içlerini eşitlemeye çalışırız.

Adım Adım Kök Eşitleme (Örnek: √75 + √12)

  1. Sayıları a√b şeklinde yazın:
    • √75 = √(25 . 3) = 5√3
    • √12 = √(4 . 3) = 2√3
  2. Kök içleri artık aynı! İşlemi yapın: 5√3 + 2√3 = (5+2)√3 = 7√3

Karmaşık Bir Örnek

Örnek İşlem: \(\sqrt{75}+\sqrt{12}-\sqrt{48}\)

1. Adım (a√b):  5√3 + 2√3 - 4√3
2. Adım (Katsayılar): (5 + 2 - 4)√3
3. Adım (Sonuç): 3√3

Geçmiş Yıllarda Çıkmış Soru Tipleri (LGS Benzeri)

Soru 1: Geometrik Şekiller ve Çevre

Uzun kenarı \(\sqrt{128}\) cm ve kısa kenarı \(\sqrt{32}\) cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun çevresi kaç cm’dir?

A) \(10\sqrt{2}\)    B) \(12\sqrt{2}\)    C) \(24\sqrt{2}\)    D) \(\sqrt{160}\)

Çözüm: Önce kenar uzunluklarını a√b şeklinde yazalım.
Uzun kenar: \(\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}\) cm.
Kısa kenar: \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\) cm.
Çevre = 2 * (Uzun Kenar + Kısa Kenar)
Çevre = 2 * (\(8\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\)) = 2 * (\(12\sqrt{2}\)) = \(24\sqrt{2}\) cm.
Doğru Cevap: C

Soru 2: Kalan Miktarı Bulma

Bir terzi, \(\sqrt{200}\) metre uzunluğundaki bir kumaşın önce \(\sqrt{18}\) metrelik, sonra \(\sqrt{50}\) metrelik kısmını kullanıyor. Geriye kaç metre kumaş kalmıştır?

A) \(2\sqrt{2}\)    B) \(3\sqrt{2}\)    C) \(8\sqrt{2}\)    D) \(\sqrt{132}\)

Çözüm: Tüm ifadeleri a√b şeklinde yazalım.
Toplam Kumaş: \(\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}\) m.
Kullanılan 1: \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\) m.
Kullanılan 2: \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\) m.
Toplam kullanılan: \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\) m.
Kalan Kumaş: \(10\sqrt{2} – 8\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\) m.
Doğru Cevap: A

Soru 3: Alan ve Çıkarma İşlemi

Alanı 180 cm² olan kare şeklindeki bir kartonun içinden, alanı 45 cm² olan kare şeklinde bir parça kesilip çıkarılıyor. Kalan şeklin çevresi kaç cm’dir?

A) \(12\sqrt{5}\)    B) \(18\sqrt{5}\)    C) \(24\sqrt{5}\)    D) \(30\sqrt{5}\)

Çözüm: Karenin alanı kenarının karesidir, yani kenarı alanın kareköküdür.
Büyük karenin bir kenarı: \(\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}\) cm.
Küçük karenin bir kenarı: \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\) cm.
Şekil kesildiğinde, büyük karenin çevresinden iki kenar eksilir ama yerine küçük karenin iki kenarı eklenir. Bu tip sorularda çevre genellikle artar. Yeni çevre: Büyük karenin çevresi + Küçük karenin 2 kenarı.
Büyük Çevre: \(4 \cdot 6\sqrt{5} = 24\sqrt{5}\) cm.
Eklenen Çevre: \(2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\) cm.
Toplam Çevre: \(24\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 30\sqrt{5}\) cm. Doğru Cevap: D

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!