Cebirsel İfadeleri Çarpanlara Ayırma

Bu interaktif sayfa ile bir cebirsel ifadeyi çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmanın farklı yöntemlerini öğreneceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

Çarpanlara ayırma, sadece matematikte değil, aynı zamanda bilgisayar bilimlerinde şifreleme (kriptografi) gibi alanlarda da kullanılır. Büyük sayıları çarpanlarına ayırmanın zorluğu, internet güvenliğinin temelini oluşturur!

1. Ortak Çarpan Parantezine Alma

❗ Bir cebirsel ifadenin tüm terimlerinde bulunan ortak çarpanları parantezin dışına alarak ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz. Bu, en temel ve en sık kullanılan yöntemdir.

  • Örnek 1: \(3x+6 = 3 \cdot x + 3 \cdot 2 = 3(x+2)\)
  • Örnek 2: \(6x^2+4x = 2x \cdot 3x + 2x \cdot 2 = 2x(3x+2)\)

Alıştırma Sorusu

\(4x^3 + 12x^2 – 8x\) ifadesini ortak çarpan parantezine alarak çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:
1. Tüm terimlerdeki ortak sayısal çarpanı bulalım: 4, 12 ve -8’in en büyük ortak böleni 4’tür.
2. Tüm terimlerdeki ortak harfli çarpanı bulalım: \(x^3\), \(x^2\) ve \(x\)’in ortak olanı x’tir.
3. Ortak çarpanımız \(4x\)’tir. Şimdi her terimi \(4x\)’e bölelim:
\(= 4x(x^2 + 3x – 2)\)
Sonuç: \(4x(x^2 + 3x – 2)\)

2. Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma

❗ Bazen bir ifadenin tüm terimlerinde ortak bir çarpan bulunmaz. Bu durumda terimleri, kendi aralarında ortak çarpanı olan gruplara ayırırız.

Örnek: \(ab+bc+ac+c^2\)

  • İlk iki terimi ‘b’ parantezine, son iki terimi ‘c’ parantezine alalım: \(b(a+c) + c(a+c)\)
  • Şimdi \((a+c)\) ifadesi ortak çarpan oldu. Tekrar paranteze alalım: \((a+c)(b+c)\)

Alıştırma Sorusu

\(4ay – 3by + 8ac – 6bc\) ifadesini gruplandırarak çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:
1. İlk iki terimi ‘y’ ortak parantezine alalım: \(y(4a-3b)\)
2. Son iki terimi ‘2c’ ortak parantezine alalım: \(+2c(4a-3b)\)
3. İfade \(y(4a-3b) + 2c(4a-3b)\) haline geldi.
4. Şimdi \((4a-3b)\) ortak parantezine alalım: \((4a-3b)(y+2c)\)
Sonuç: \((4a-3b)(y+2c)\)

3. Özdeşliklerden Faydalanarak Çarpanlara Ayırma

Önceki derste öğrendiğimiz özdeşlikleri, bu sefer tersten kullanarak çarpanlara ayırma yapacağız.

İki Kare Farkı: \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\)

İki terim de tam kare ise ve aralarında eksi işareti varsa bu özdeşliği kullanırız.

Örnek: \(4y^2 – 36 = (2y)^2 – 6^2 = (2y-6)(2y+6)\)

Tam Kare Özdeşlikleri: \(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\)

Üç terimli bir ifadede, birinci ve üçüncü terimler tam kare ise ve ortadaki terim bu terimlerin kareköklerinin çarpımının iki katı ise bu bir tam kare ifadedir.

Örnek: \(x^2+6x+9\). \(x^2\)’nin karekökü x, 9’un karekökü 3. İkisinin çarpımının iki katı \(2 \cdot x \cdot 3 = 6x\), yani ortadaki terimi veriyor. O halde bu ifade \((x+3)^2\)’dir.

Alıştırma Sorusu

\(25x^2 – 20xy + 4y^2\) ifadesini özdeşlik kullanarak çarpanlarına ayırınız.

Çözüm:
1. Birinci terimin karekökü: \(\sqrt{25x^2} = 5x\)
2. Üçüncü terimin karekökü: \(\sqrt{4y^2} = 2y\)
3. Bu ikisinin çarpımının 2 katı: \(2 \cdot 5x \cdot 2y = 20xy\). Bu, ortadaki terimle eşleşiyor.
4. Ortadaki terimin işareti eksi (-) olduğu için bu bir farkın karesidir.
Sonuç: \((5x-2y)^2\)

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Alan Problemi

Alanı \((x^2 + 10x + 25)\) cm² olan kare şeklindeki bir masanın üzerine, masanın kenarlarından 3’er cm taşacak şekilde kare bir örtü seriliyor. Bu örtünün alanını santimetrekare cinsinden veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) \(x^2 + 22x + 121\)    B) \(x^2 + 10x + 31\)    C) \(x^2 + 16x + 64\)    D) \(x^2 + 10x + 16\)

Çözüm:
1. Masanın Kenarını Bulma: Masanın alanı \(x^2 + 10x + 25\), bir tam kare ifadedir. Bu ifade \((x+5)^2\)’nin açılımıdır. O halde masanın bir kenarı \((x+5)\) cm’dir.
2. Örtünün Kenarını Bulma: Örtü her kenardan 3 cm taşıyor. Yani bir kenarda hem soldan 3 cm, hem sağdan 3 cm taşma olur. Toplamda bir kenar 6 cm uzar. Örtünün bir kenarı: \((x+5) + 6 = x+11\) cm olur.
3. Örtünün Alanını Bulma: \((x+11)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 11 + 11^2 = x^2 + 22x + 121\)
Doğru Cevap: A

LGS Benzeri Soru 2: Sadeleştirme

\(\frac{x^2 – 4}{xy + 2y}\) ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

A) \(\frac{x-2}{y}\)    B) \(\frac{x+2}{y}\)    C) \(\frac{x-4}{y}\)    D) \(x-2\)

Çözüm:
1. Payı Çarpanlarına Ayırma (İki Kare Farkı): \(x^2 – 4 = x^2 – 2^2 = (x-2)(x+2)\)
2. Paydayı Çarpanlarına Ayırma (Ortak Parantez): \(xy + 2y = y(x+2)\)
3. İfadeyi Tekrar Yazma: \(\frac{(x-2)(x+2)}{y(x+2)}\)
4. Sadeleştirme: Pay ve paydadaki \((x+2)\) ifadeleri birbirini götürür.
Sonuç: \(\frac{x-2}{y}\)
Doğru Cevap: A

Bursluluk Benzeri Soru 1: Ortak Çarpan

\(12a^2b – 18ab^2\) ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi değildir?

A) \(6ab\)    B) \(2a-3b\)    C) \(3a\)    D) \(2a+3b\)

Çözüm:
1. İfadeyi ortak çarpan parantezine alalım. Ortak çarpan \(6ab\)’dir.
\(12a^2b – 18ab^2 = 6ab(2a) – 6ab(3b) = 6ab(2a-3b)\)
2. İfadenin çarpanları: 6, a, b, (2a-3b) ve bunların kombinasyonlarıdır (örneğin 6a, 6b, 6ab…).
3. Şıkları kontrol edelim: \(6ab\) bir çarpandır. \((2a-3b)\) bir çarpandır. \(3a\), \(6ab\)’nin içinde olduğu için bir çarpandır. Ancak \((2a+3b)\) bu ifadenin bir çarpanı değildir.
Doğru Cevap: D

Bursluluk Benzeri Soru 2: Tam Kare Tespiti

\(4x^2 + Ax + 49\) ifadesi bir tam kare olduğuna göre, A’nın pozitif değeri kaçtır?

A) 14    B) 28    C) 49    D) 56

Çözüm:
Bir ifadenin tam kare olması için ortadaki terimin, birinci ve üçüncü terimlerin kareköklerinin çarpımının 2 katı olması gerekir.
1. Birinci terimin karekökü: \(\sqrt{4x^2} = 2x\)
2. Üçüncü terimin karekökü: \(\sqrt{49} = 7\)
3. Ortadaki terim (Ax): \(2 \cdot (2x) \cdot (7) = 28x\)
Bu durumda \(Ax = 28x\) olmalıdır, yani A=28’dir.
Doğru Cevap: B

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!