Doğrusal İlişki ve Doğrusal Denklemler
Doğrusal İlişkiler: Değişkenlerin Dansı
Bu interaktif sayfa ile aralarında doğrusal ilişki bulunan iki çokluğun birbiriyle nasıl değiştiğini tablo ve denklemle ifade etmeyi öğreneceksin.
💡 Biliyor muydunuz?
Doğrusal ilişkiler hayatımızın her yerinde! Bir taksinin ücreti, zamana bağlı olarak biriken faiz, belirli bir hızla giden arabanın aldığı yol… Hepsi doğrusal ilişkilere harika birer örnektir.
1. Doğrusal İlişki Nedir?
İki değişkenden biri düzenli aralıklarla artarken veya azalırken, diğeri de aynı şekilde düzenli aralıklarla artıyor veya azalıyorsa, bu iki değişken arasında doğrusal bir ilişki vardır.
- Bağımsız Değişken: Değeri başka bir şeye bağlı olmayan, bizim kontrol edebildiğimiz değişkendir (Genellikle ‘x’ ile gösterilir).
- Bağımlı Değişken: Değeri bağımsız değişkene göre değişen değişkendir (Genellikle ‘y’ ile gösterilir).
Örnek: Bir kumbarada başlangıçta 10 TL var ve her gün kumbaraya 5 TL atılıyor.
– Geçen gün sayısı bağımsız değişkendir (x).
– Kumbaradaki toplam para miktarı bağımlı değişkendir (y), çünkü gün sayısına bağlı olarak değişir.
2. İlişkiyi Tablo ve Grafikle Gösterme
❗ Doğrusal ilişkileri en net görebileceğimiz yöntemlerden biri tablo oluşturmaktır. Tabloda bağımsız değişkenin her bir adımı için bağımlı değişkenin nasıl değiştiğini inceleriz.
Örnek: Kumbara Problemi
Başlangıçta 10 TL olan ve her gün 5 TL eklenen kumbaranın durumunu tablo ile gösterelim.
| Geçen Gün (x) | Kumbaradaki Para (y) |
|---|---|
| 0 | 10 TL |
| 1 | 15 TL |
| 2 | 20 TL |
| 3 | 25 TL |
Dikkat edersen, ‘x’ birer birer artarken, ‘y’ her seferinde beşer beşer artıyor. Bu düzenli artış, aralarında doğrusal bir ilişki olduğunu gösterir.
Bu tabloyu bir de çizgi grafiği üzerinde görelim. Yatay eksen günleri (x), dikey eksen ise para miktarını (y) gösterir. Noktaların düz bir çizgi oluşturduğuna dikkat et!
Alıştırma Sorusu
Boyu 20 cm olan bir fidan her hafta 3 cm uzamaktadır. Fidanın boyunun zamana göre değişimini gösteren 4 haftalık bir tablo oluşturunuz.
| Geçen Hafta (x) | Fidanın Boyu (y) |
|---|---|
| 0 | 20 cm |
| 1 | 23 cm |
| 2 | 26 cm |
| 3 | 29 cm |
| 4 | 32 cm |
3. İlişkiyi Denklemle İfade Etme
Doğrusal ilişkiler \(y = mx + n\) şeklinde bir denklemle ifade edilebilir.
- y: Bağımlı değişken
- x: Bağımsız değişken
- m: Değişim Miktarı (x bir arttığında y’nin ne kadar arttığı/azaldığı)
- n: Başlangıç Değeri (x=0 olduğunda y’nin değeri)
Örnek: Kumbara Denklemi
Kumbara örneğimizde; y (para miktarı), x (gün sayısı) olmak üzere:
– Başlangıç değeri (n) = 10 TL
– Değişim miktarı (m) = +5 TL/gün
O halde denklemimiz: \(y = 5x + 10\) olur.
Alıştırma Sorusu
Taksi ücreti, açılışta 15 TL ve gidilen her kilometre için 10 TL olarak belirlenmiştir. Gidilen yol (x) ile ödenecek ücret (y) arasındaki ilişkiyi denklem ile ifade ediniz.
Çözüm:
– Bağımsız değişken (x): Gidilen yol (km)
– Bağımlı değişken (y): Toplam ücret (TL)
– Başlangıç değeri (n): 15 TL (hiç yol gidilmese bile ödenir)
– Değişim miktarı (m): 10 TL (her km için)
Denklem: \(y = 10x + 15\)
LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular
LGS Benzeri Soru 1: Denklem Bulma
Bir su deposunda 500 litre su bulunmaktadır. Bu depodan her saat 25 litre su kullanılmaktadır. Geçen süre (t, saat) ile depoda kalan su miktarı (S, litre) arasındaki doğrusal ilişkiyi gösteren denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A) S = 500 + 25t B) S = 25t – 500 C) S = 500 – 25t D) t = 500 – 25S
Çözüm:
1. Bağımlı Değişken: Depoda kalan su (S).
2. Bağımsız Değişken: Geçen süre (t).
3. Başlangıç Değeri: Depoda başlangıçta 500 litre su var.
4. Değişim Miktarı: Her saat 25 litre su azaldığı için değişim -25’tir.
5. Denklemimiz: Kalan Su = Başlangıçtaki Su – Harcanan Su. Yani, \(S = 500 – 25t\).
Doğru Cevap: C
LGS Benzeri Soru 2: Tablodan Denklem Bulma
Aşağıdaki tablo, bir aracın gittiği yola (x) göre deposunda kalan benzin miktarını (y) göstermektedir. Bu ilişkiyi gösteren denklem hangisidir?
| Gidilen Yol (x km) | Kalan Benzin (y L) |
|---|---|
| 0 | 60 |
| 100 | 52 |
| 200 | 44 |
A) y = 60 – 8x B) y = 60 – 0.08x C) y = 60 – 1.25x D) x = 60 – 0.08y
Çözüm:
1. Başlangıç Değeri: x=0 iken y=60. Yani depoda başta 60 L benzin var.
2. Değişim Miktarı: Araç 100 km yol gidince benzin 60’tan 52’ye düşmüş, yani 8 L azalmış. O halde 1 km’de ne kadar azaldığını bulalım: \(8 L / 100 km = 0.08 L/km\). Azaldığı için değişim -0.08’dir.
3. Denklemimiz \(y = mx + n\) formülüne göre (burada m negatif): \(y = -0.08x + 60\) veya \(y = 60 – 0.08x\).
Doğru Cevap: B
Bursluluk Benzeri Soru 1: Değer Bulma
Bir işçinin alacağı maaş (y), çalıştığı gün (x) sayısına göre \(y = 150x + 200\) denklemi ile hesaplanmaktadır. Bu işçi 10 gün çalıştığında kaç TL maaş alır?
A) 1500 B) 1700 C) 2150 D) 350
Çözüm:
Denklemde çalışılan gün sayısı (x) yerine 10 yazarak alacağı maaşı (y) buluruz.
y = 150(10) + 200
y = 1500 + 200
y = 1700
Doğru Cevap: B
Bursluluk Benzeri Soru 2: Tablo Tamamlama
x ve y arasında \(y = 4x – 2\) doğrusal ilişkisi vardır. Aşağıdaki tabloda A yerine hangi sayı gelmelidir?
| x | y |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 6 |
| 3 | A |
A) 8 B) 9 C) 10 D) 12
Çözüm:
A değerini bulmak için, denklemde x gördüğümüz yere 3 yazarız.
y = 4(3) – 2
y = 12 – 2
y = 10. O halde A=10’dur.
Doğru Cevap: C
Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?
Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!
