Doğrunun Eğimi

Bu interaktif sayfa ile bir doğrunun ne kadar “dik” veya “yatık” olduğunu gösteren eğim kavramını, modellerle ve denklemlerle ilişkilendirerek öğreneceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

Mühendisler ve mimarlar, bir çatının ne kadar dik olacağını, bir engelli rampasının ne kadar güvenli olacağını veya bir yolun ne kadar virajlı olacağını hesaplamak için her zaman eğim kullanırlar!

1. Eğim Nedir ve Nasıl Hesaplanır?

❗ Eğim, bir doğrunun dikey olarak ne kadar değiştiğinin, yatay olarak ne kadar değiştiğine oranıdır. Kısacası, bir doğrunun dikliğini ölçer ve ‘m’ harfi ile gösterilir.

Eğim (m) = \(\frac{\text{Dikey Uzunluk (Yükseklik)}}{\text{Yatay Uzunluk (Uzaklık)}}\)

[Bir rampanın dikey ve yatay uzunluklarını gösteren model]

Örnek:

Bir rampa, yatayda 5 metre ilerlerken dikeyde 1 metre yükseliyorsa, bu rampanın eğimi:
m = \(\frac{1}{5}\) = 0,2’dir.

2. Koordinat Sisteminde Eğim

Koordinat sisteminde bir doğrunun eğimini bulmak için, doğru üzerindeki iki nokta arasında bir dik üçgen oluştururuz.

  • Pozitif Eğim (+): Doğru, soldan sağa doğru yukarı çıkıyorsa eğim pozitiftir.
  • Negatif Eğim (-): Doğru, soldan sağa doğru aşağı iniyorsa eğim negatiftir.
[Pozitif ve negatif eğimli doğruların grafiği]

3. Denklemden Eğim Bulma

Doğrusal denklemler genellikle \(y = mx + n\) şeklinde yazılır. Bu denklemde eğimi bulmak çok kolaydır!

❗ Bir denklem \(y = mx + n\) şeklinde yazıldığında, x’in katsayısı (m) her zaman doğrunun eğimini verir.

  • \(y = 3x + 5\) denkleminin eğimi m = 3‘tür.
  • \(y = -2x – 1\) denkleminin eğimi m = -2‘dir.
  • \(y = x\) denkleminin eğimi m = 1‘dir. (x’in önünde gizli bir 1 vardır)

Alıştırma Sorusu

\(2x + y = 5\) denkleminin eğimi kaçtır?

Çözüm:
1. Önce denklemi \(y = mx + n\) formatına getirmek için ‘y’yi yalnız bırakmalıyız.
2. \(2x\)’i eşitliğin diğer tarafına \(-2x\) olarak atalım: \(y = -2x + 5\).
3. Şimdi denklem istediğimiz formatta. x’in katsayısı -2 olduğuna göre, eğim (m) = -2‘dir.

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Grafikten Eğim Bulma

Koordinat sisteminde A(-1, 2) ve B(2, 8) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

A) \(\frac{1}{2}\)    B) 2    C) \(\frac{3}{5}\)    D) 3

Çözüm:
1. Dikey Değişim (Yükseklik): y değerleri arasındaki farka bakalım: \(8 – 2 = 6\) birim.
2. Yatay Değişim (Uzaklık): x değerleri arasındaki farka bakalım: \(2 – (-1) = 2 + 1 = 3\) birim.
3. Eğim: \(\frac{\text{Dikey Değişim}}{\text{Yatay Değişim}} = \frac{6}{3} = 2\).
Doğru Cevap: B

LGS Benzeri Soru 2: Denklem ve Eğim İlişkisi

\(ax – 3y = 9\) denklemiyle verilen doğrunun eğimi 2 olduğuna göre, ‘a’ kaçtır?

A) 2    B) 3    C) 4    D) 6

Çözüm:
1. Denklemi \(y = mx + n\) formatına getirmek için ‘y’yi yalnız bırakalım.
\(ax – 9 = 3y\)
\(\frac{ax}{3} – \frac{9}{3} = y \implies y = \frac{a}{3}x – 3\)
2. Bu denklemde eğim, x’in katsayısı olan \(\frac{a}{3}\)’tür.
3. Soruda eğimin 2 olduğu verilmiş. Eşitleyelim: \(\frac{a}{3} = 2 \implies a = 6\).
Doğru Cevap: D

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!