Kareköklü Sayılarda Çarpma ve Bölme

Bu interaktif sayfa ile “Kareköklü Sayılarda Çarpma ve Bölme” konusunu eğlenceli bir şekilde öğreneceksiniz.

💡 Biliyor muydunuz?

Fizikte, bir cismin serbest düşme süresini hesaplarken \(t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\) formülü kullanılır. Gördüğünüz gibi, kareköklü sayılarla bölme işlemi hayatın her alanında karşımıza çıkabilir!

1. Kareköklü Sayılarda Çarpma İşlemi

❗ Kareköklü sayılarla çarpma işlemi yaparken katsayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar da kendi arasında çarpılır. Sonuç, gerekirse \(a\sqrt{b}\) şeklinde sadeleştirilir.

Genel Kural: \(x\sqrt{a} \cdot y\sqrt{b} = x \cdot y \sqrt{a \cdot b}\)

Örnekler

  1. Temel Çarpma: \(4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2} = (4 \cdot 2)\sqrt{3 \cdot 2} = 8\sqrt{6}\)
  2. Kökten Çıkarma: \(\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{6} = 4\sqrt{6 \cdot 6} = 4\sqrt{36} = 4 \cdot 6 = 24\)
  3. Önemli Kısayol: Bir kareköklü sayı kendisiyle çarpıldığında kök ortadan kalkar! \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a\). Örneğin: \(\sqrt{13} \cdot \sqrt{13} = 13\)

2. Kareköklü Sayılarda Bölme İşlemi

❗ Kareköklü sayılarla bölme işlemi yaparken de kural çarpmaya benzer: Katsayılar kendi arasında, kök içindeki sayılar da kendi arasında ortak bir kök içinde bölünür.

Genel Kural: \(\frac{x\sqrt{a}}{y\sqrt{b}} = \frac{x}{y}\sqrt{\frac{a}{b}}\)

Örnekler

  1. Temel Bölme: \(\frac{12\sqrt{10}}{4\sqrt{5}} = \frac{12}{4}\sqrt{\frac{10}{5}} = 3\sqrt{2}\)
  2. Sadeleştirme: \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{125}} = \sqrt{\frac{5}{125}} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}\)

Geçmiş Yıllarda Çıkmış Soru Tipleri (LGS Benzeri)

Soru 1: Dikdörtgenin Alanı

Kısa kenarının uzunluğu \(3\sqrt{2}\) cm ve uzun kenarının uzunluğu \(7\sqrt{3}\) cm olan bir dikdörtgenin alanı kaç cm²’dir?

A) \(10\sqrt{5}\)    B) \(21\sqrt{6}\)    C) \(21\sqrt{5}\)    D) \(10\sqrt{6}\)

Çözüm: Dikdörtgenin alanı, kısa kenar ile uzun kenarın çarpımıdır.
Alan = \( (3\sqrt{2}) \cdot (7\sqrt{3}) \)
Alan = \( (3 \cdot 7) \sqrt{2 \cdot 3} \)
Alan = \( 21\sqrt{6} \) cm².
Doğru Cevap: B

Soru 2: Alanı Verilen Dikdörtgenin Kenarını Bulma

Alanı \(20\sqrt{15}\) cm² olan bir dikdörtgenin bir kenarının uzunluğu \(2\sqrt{5}\) cm ise diğer kenarının uzunluğu kaç cm’dir?

A) \(10\sqrt{3}\)    B) \(18\sqrt{3}\)    C) \(10\sqrt{75}\)    D) \(22\sqrt{20}\)

Çözüm: Dikdörtgenin diğer kenarını bulmak için alanı, verilen kenar uzunluğuna böleriz.
Diğer Kenar = \(\frac{20\sqrt{15}}{2\sqrt{5}}\)
Diğer Kenar = \(\frac{20}{2}\sqrt{\frac{15}{5}}\)
Diğer Kenar = \(10\sqrt{3}\) cm.
Doğru Cevap: A

Soru 3: Üçgenin Alanı

Bir üçgenin taban uzunluğu \(\sqrt{72}\) cm ve bu tabana ait yüksekliği \(\sqrt{32}\) cm’dir. Bu üçgenin alanı kaç cm²’dir?

A) 24    B) 48    C) \(\sqrt{2304}\)    D) \(24\sqrt{2}\)

Çözüm: Üçgenin alanı = \(\frac{Taban \cdot Yükseklik}{2}\). Önce sayıları \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazalım.
Taban: \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\) cm.
Yükseklik: \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\) cm.
Alan = \(\frac{6\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2}}{2} = \frac{24\sqrt{4}}{2} = \frac{24 \cdot 2}{2} = 24\) cm².
Doğru Cevap: A

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!