Kareköklü İfadeleri Doğal Sayı Yapma

Bu interaktif sayfa ile bir kareköklü ifadeyi hangi sayıyla çarparsak sonucun bir doğal sayı olacağını keşfedeceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

Bu öğrendiğimiz yöntem, kesirlerin paydasında köklü ifade bırakmamak için kullanılan “paydayı rasyonel yapma” konusunun temelidir. Yani aslında daha karmaşık konular için bir temel atıyorsun!

1. Kökten Kurtarma’nın Altın Kuralı

❗ Bir kareköklü ifadeyi kökten kurtarıp doğal sayı yapmanın en temel yolu, onu kendisiyle çarpmaktır. Çünkü bir köklü sayı kendisiyle çarpıldığında kök ortadan kalkar.

\(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a\)

Örnekler

  • \(\sqrt{5}\) sayısını doğal sayı yapmak için \(\sqrt{5}\) ile çarparız: \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5\)
  • \(\sqrt{11}\) sayısını doğal sayı yapmak için \(\sqrt{11}\) ile çarparız: \(\sqrt{11} \cdot \sqrt{11} = 11\)

2. \(a\sqrt{b}\) Şeklindeki İfadeler

Eğer ifademiz \(a\sqrt{b}\) şeklinde ise, katsayı olan ‘a’ zaten bir doğal sayıdır. Bizim kurtulmamız gereken kısım \(\sqrt{b}\)’dir. Bu yüzden ifadeyi \(\sqrt{b}\) içeren bir sayıyla çarpmamız yeterlidir.

Örnek: \(2\sqrt{3}\) ifadesini doğal sayı yapan çarpanlar nelerdir?

Burada köklü kısım \(\sqrt{3}\)’tür. Demek ki çarpanımızın içinde \(\sqrt{3}\) olmalı.

  • \(\sqrt{3}\) ile çarpalım: \(2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6\) (Sonuç doğal sayı!)
  • \(5\sqrt{3}\) ile çarpalım: \(2\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{3} = (2 \cdot 5) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 10 \cdot 3 = 30\) (Sonuç doğal sayı!)

Gördüğün gibi, \(2\sqrt{3}\) ifadesini \(\sqrt{3}\), \(5\sqrt{3}\), \(10\sqrt{3}\) gibi \(\sqrt{3}\)’ün katları olan herhangi bir sayıyla çarptığımızda sonuç doğal sayı olur.

Alıştırma Sorusu

\(\sqrt{48}\) sayısını doğal sayı yapan en küçük pozitif çarpan nedir?

Çözüm:
1. Önce \(\sqrt{48}\)’i \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazalım: \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\).
2. Kökten kurtarmamız gereken kısım \(\sqrt{3}\)’tür.
3. Bu ifadeyi doğal sayı yapacak en küçük pozitif çarpan \(\sqrt{3}\)’ün kendisidir.
Kontrol: \(4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12\)

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Alan Problemi

Alanı \(\sqrt{128}\) cm² olan bir dikdörtgenin kenarlarından birinin uzunluğu \(\sqrt{2}\) cm’dir. Bu dikdörtgenin diğer kenar uzunluğunu doğal sayı yapmak için bu uzunluk en az kaç ile çarpılmalıdır?

A) \(\sqrt{2}\)    B) 1    C) 2    D) \(\sqrt{8}\)

Çözüm:
1. Diğer Kenarı Bulalım: Diğer Kenar = Alan / Bilinen Kenar
Diğer Kenar = \(\frac{\sqrt{128}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{128}{2}} = \sqrt{64} = 8\) cm.
2. Bulduğumuz kenar uzunluğu (8 cm) zaten bir doğal sayıdır.
3. Bir doğal sayıyı, doğal sayı yapan en küçük pozitif çarpan 1’dir.
Doğru Cevap: B

LGS Benzeri Soru 2: Tablo Yorumlama

Aşağıdaki tabloda verilen sayılardan hangisi, karşısındaki çarpan ile çarpıldığında sonuç bir doğal sayı olur?

SayıÇarpan
A) \(\sqrt{20}\)\(\sqrt{2}\)
B) \(\sqrt{27}\)\(\sqrt{3}\)
C) \(\sqrt{45}\)\(\sqrt{3}\)
D) \(\sqrt{50}\)\(\sqrt{5}\)

Çözüm:
Sayıları \(a\sqrt{b}\) şeklinde yazıp çarpımları kontrol edelim:
A) \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\). \(2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{10}\). Doğal sayı değil.
B) \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\). \(3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9\). Doğal sayı!
C) \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\). \(3\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{15}\). Doğal sayı değil.
D) \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\). \(5\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{10}\). Doğal sayı değil.
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 1: Hangisi Yapmaz?

Aşağıdakilerden hangisi \(\sqrt{24}\) ile çarpıldığında sonucu bir doğal sayı yapmaz?

A) \(\sqrt{6}\)    B) \(\sqrt{24}\)    C) \(\sqrt{54}\)    D) \(\sqrt{12}\)

Çözüm:
1. Önce \(\sqrt{24}\)’ü sadeleştirelim: \(\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}\).
2. Sonucun doğal sayı olması için çarpanın içinde \(\sqrt{6}\) olmalıdır.
A) \(\sqrt{6}\) ile çarpılırsa olur.
B) \(\sqrt{24}\) (yani \(2\sqrt{6}\)) ile çarpılırsa olur.
C) \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}\). Çarpılırsa olur.
D) \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). Kök içi \(\sqrt{6}\) değil, \(\sqrt{3}\)’tür. Çarpıldığında \(2\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{18}\) olur, doğal sayı değil.
Doğru Cevap: D

Bursluluk Benzeri Soru 2: Değer Verme

\(A = \sqrt{32}\) olduğuna göre, \(A \cdot B\) çarpımını doğal sayı yapan en küçük B sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) \(\sqrt{2}\)    B) \(\sqrt{3}\)    C) \(\sqrt{5}\)    D) \(\sqrt{8}\)

Çözüm:
1. \(\sqrt{32}\)’yi sadeleştirelim: \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\).
2. İfadeyi doğal sayı yapmak için çarpanın içinde \(\sqrt{2}\) olmalıdır.
3. Şıklara bakalım: \(\sqrt{2}\) olabilir. \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}\) de olabilir. Genellikle bu tür sorularda en sade hali istenir veya şıklarda sadece biri verilir.
A şıkkındaki \(\sqrt{2}\) ile çarpalım: \(4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8\).
D şıkkındaki \(\sqrt{8}\) ile çarpalım: \(4\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = 4\sqrt{16} = 4 \cdot 4 = 16\).
Her ikisi de sonucu doğal sayı yapar. Soruda “hangisi olabilir?” dediği için ikisi de doğrudur. Ancak genellikle şıklarda tek doğru olur. (Not: Bu soruda hem A hem D doğru, LGS’de böyle bir durum olmaz.)
Doğru Cevap: A

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!