Cebirsel İfadeler ve Önemli Özdeşlikler

Bu interaktif sayfa ile denklem ve özdeşlik arasındaki farkı, en önemli üç özdeşliği ve bu özdeşliklerin kullanım alanlarını öğreneceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

İki kare farkı özdeşliği (\(a^2-b^2\)), büyük sayıların karelerini zihinden hesaplamada bir kısayol olarak kullanılabilir. Örneğin, \(41^2 – 39^2 = (41-39)(41+39) = 2 \cdot 80 = 160\). Çok daha kolay, değil mi?

1. Özdeşlik Nedir? Denklemden Farkı Ne?

❗ İçindeki değişkene (harfe) hangi gerçek sayıyı verirsen ver, eşitliğin her zaman sağlandığı ifadelere özdeşlik denir. Eğer eşitlik sadece bazı değerler için sağlanıyorsa ona denklem denir.

  • Özdeşlik: \(2(x+3) = 2x+6\). Burada x yerine ne yazarsan yaz, eşitlik bozulmaz.
  • Denklem: \(2(x+3) = 10\). Burada eşitlik sadece \(x=2\) için doğrudur.

Alıştırma Sorusu

\(5x – 5 = 5(x-1)\) ifadesi bir özdeşlik midir, yoksa denklem midir? Neden?

Çözüm:
Bu bir özdeşliktir. Çünkü eşitliğin sağ tarafındaki 5’i paranteze dağıttığımızda \(5 \cdot x – 5 \cdot 1 = 5x-5\) elde ederiz. Eşitliğin iki tarafı birbirinin aynısı olduğu için, x yerine hangi sayıyı koyarsak koyalım sonuç her zaman doğru çıkacaktır.

2. En Sık Kullanılan 3 Önemli Özdeşlik

Bu üç özdeşlik, matematiğin temel taşlarındandır ve LGS’de sıkça karşına çıkar!

İki Terimin Toplamının Karesi

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Açıklama: Birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katı ve ikincinin karesinin toplamıdır.

Örnek: \((x+4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16\)

İki Terimin Farkının Karesi

\((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)

Açıklama: Birincinin karesi, birinci ile ikincinin çarpımının iki katının eksiği ve ikincinin karesinin toplamıdır.

Örnek: \((2y-3)^2 = (2y)^2 – 2 \cdot 2y \cdot 3 + 3^2 = 4y^2 – 12y + 9\)

İki Kare Farkı Özdeşliği

\(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\)

Açıklama: İki sayının karelerinin farkı, bu sayıların farkı ile toplamının çarpımına eşittir.

Örnek: \(x^2 – 49 = x^2 – 7^2 = (x-7)(x+7)\)

Alıştırma Sorusu

\(101^2\) işleminin sonucunu iki terimin toplamının karesi özdeşliğini kullanarak hesaplayınız.

Çözüm:
1. \(101\)’i \((100+1)\) olarak yazalım.
2. Özdeşliği uygulayalım: \((100+1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2\)
3. Hesaplayalım: \(= 10000 + 200 + 1 = 10201\)
Sonuç: 10201

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Alan Farkından Kenar Bulma

Alanı \(9x^2\) cm² olan kare şeklindeki bir kartondan, alanı 16 cm² olan kare şeklinde bir parça kesilip çıkarılıyor. Kalan parçanın çevre uzunluğunu santimetre cinsinden veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A) \(12x + 16\)    B) \(12x\)    C) \(6x + 14\)    D) \(12x – 16\)

Çözüm:
1. Büyük Karenin Kenarı: Alanı \(9x^2\) ise kenarı \(\sqrt{9x^2} = 3x\)’tir.
2. Küçük Karenin Kenarı: Alanı 16 ise kenarı \(\sqrt{16} = 4\)’tür.
3. Şekli hayal edelim: Büyük karenin bir köşesinden küçük kare kesildiğinde, çevreden iki kenar eksilirken, yerine iki yeni kenar gelir. Yani çevre değişmez.
4. Kalan Şeklin Çevresi = Büyük Karenin Çevresi: \(4 \cdot (3x) = 12x\)
Not: Eğer kesilen parça kenardan çıkarılsaydı çevre artardı, ancak soruda köşeden çıkarıldığı varsayılır.
Doğru Cevap: B

LGS Benzeri Soru 2: Değer Bulma

\(x-y=6\) ve \(x \cdot y = 7\) olduğuna göre, \(x^2+y^2\) ifadesinin değeri kaçtır?

A) 22    B) 36    C) 43    D) 50

Çözüm:
1. Bu soruda iki terimin farkının karesi özdeşliğini kullanmalıyız: \((x-y)^2 = x^2 – 2xy + y^2\).
2. Verilen değerleri bu özdeşlikte yerine yazalım:
\((6)^2 = x^2 – 2(7) + y^2\)
3. Denklemi düzenleyelim: \(36 = (x^2 + y^2) – 14\)
4. \(-14\)’ü eşitliğin diğer tarafına atalım: \(36 + 14 = x^2 + y^2\)
5. \(50 = x^2 + y^2\)
Doğru Cevap: D

Bursluluk Benzeri Soru 1: Özdeşlik Tespiti

\(25x^2 – 49y^2\) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) \((5x – 7y)^2\)
B) \((5x + 7y)^2\)
C) \((25x – 49y)(25x + 49y)\)
D) \((5x – 7y)(5x + 7y)\)

Çözüm:
Bu ifade, iki kare farkı özdeşliğinin (\(a^2-b^2\)) bir uygulamasıdır.
1. Terimlerin kareköklerini bulalım: \(a^2 = 25x^2 \implies a = 5x\) ve \(b^2 = 49y^2 \implies b = 7y\).
2. Özdeşlik formülünü uygulayalım: \((a-b)(a+b) = (5x-7y)(5x+7y)\)
Doğru Cevap: D

Bursluluk Benzeri Soru 2: Açılımda Terim Bulma

\((3a + 5)^2\) özdeşliğinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir?

A) \(15a\)    B) \(30a\)    C) \(25\)    D) \(9a^2\)

Çözüm:
İki terimin toplamının karesi özdeşliği \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) şeklindedir. Ortadaki terim \(2ab\)’dir.
1. Birinci terim: \(3a\), İkinci terim: 5
2. Ortadaki terimi hesaplayalım: \(2 \cdot (3a) \cdot (5) = 30a\)
Doğru Cevap: B

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!