1. Ünite: Çarpanlar ve Katlar Kazanım: M.8.1.1.1 (Bölüm 1)

Pozitif Tam Sayı Çarpanları (Bölenleri)

Bir sayıyı kalansız bölen pozitif tam sayılardır. (Örn: 24’ün çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)

Püf Noktası (Gökkuşağı Yöntemi): Çarpanları bulurken atlama yaptın mı? Kontrol et!

Örnek: 24 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

• 1 × 24 = 24
• 2 × 12 = 24
• 3 × 8 = 24
• 4 × 6 = 24

Baştaki ve sondaki çarpanların çarpımı hep sayıyı verir. Unutulan bir çarpan olursa gökkuşağı bozulur!

1. Ünite: Çarpanlar ve Katlar Kazanım: M.8.1.1.1 (Bölüm 2)

Asal Çarpanlara Ayırma (Üslü Yazma)

Bir sayıyı sadece asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmaktır. En sık “Asal Çarpan Algoritması” (bölme çizgisi) kullanılır.

Örnek: 60’ı üslü yazalım.

Sonuç: 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3¹ · 5¹

Püf Noktası: EBOB ve EKOK’u hızlı bulmanın temeli bu üslü gösterimdir! Bu yöntemi çok iyi bilmelisin.

1. Ünite: Çarpanlar ve Katlar Kazanım: M.8.1.1.2

EBOB (En Büyük Ortak Bölen)

İki veya daha fazla sayıyı ortak bölen en büyük sayıdır.

• Asal Çarpan Yöntemi: Üslü yazılan sayılardan, tabanları ortak olanların üssü en küçük olanları seç ve çarp.

Püf Noktası (Problem Tipi): EBOB ne zaman kullanılır?

Kazanım şunu der: BÜTÜNDEN PARÇAYA gitme durumu varsa EBOB kullanılır.

• Bidondaki/Çuvaldaki ürünleri eşit paketlere ayırma,
• Tarlanın etrafına eşit aralıkla ağaç dikme.

Anahtar kelime: EŞİT BÖLME, PARSELLEME.

1. Ünite: Çarpanlar ve Katlar Kazanım: M.8.1.1.2

EKOK (En Küçük Ortak Kat)

İki veya daha fazla sayının ortak katı olan en küçük sayıdır.

• Asal Çarpan Yöntemi: Üslü yazılan sayılardan, tabanları ortak olanların üssü en büyük olanlar ile ortak olmayanların tamamını seç ve çarp.

Püf Noktası (Problem Tipi): EKOK ne zaman kullanılır?

Kazanım şunu der: PARÇADAN BÜTÜNE gitme durumu varsa EKOK kullanılır.

• Farklı zamanlarda çalan zillerin/saatlerin birlikte çalması,
• Farklı günlerde tutulan nöbetlerin aynı güne denk gelmesi,
• Küçük tuğlalardan büyük bir kare/küp yapma.

Anahtar kelime: BİRLİKTE, YENİDEN DENK GELME.

1. Ünite: Çarpanlar ve Katlar Kazanım: M.8.1.1.3

Aralarında Asal Sayılar

1’den başka ortak pozitif böleni olmayan iki doğal sayıdır.

• Aralarında asal sayıların EBOB’u 1‘dir.
• Aralarında asal sayıların EKOK’u bu sayıların çarpımıdır.

Püf Noktası (TUZAK!): “Aralarında Asal” demek, sayıların kendilerinin asal olması demek DEĞİLDİR!

Kazanımın verdiği örnek: 8 ve 15.
8 asal değil. 15 asal değil.
Ama 1’den başka ortak bölenleri yok. Yani aralarında asaldırlar.

2. Ünite: Üslü İfadeler Kazanım: M.8.1.2.1

Tam Sayıların Tam Sayı Kuvvetleri

• Pozitif Kuvvet: 2³ = 2·2·2 = 8
• Negatif Kuvvet: Sayının çarpma işlemine göre tersini alır (“takla attırır”).
  • Örnek: 5^-2 = 1 / 5² = 1/25

Püf Noktası (Negatif Taban): Kazanımın vurguladığı yer!

Negatif bir tam sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. AMA PARANTEZ VARSA!

• (-3)² = (-3)·(-3) = +9 (Çift kuvvet, parantez var → Pozitif)
• (-3)³ = (-3)·(-3)·(-3) = -27 (Tek kuvvet → Negatif)
• -3² = -(3·3) = -9 (Tuzak! Kuvvet sadece 3’ün, eksi önde bekler)

2. Ünite: Üslü İfadeler Kazanım: M.8.1.2.2

Üslü İfadelerle İlgili Temel Kurallar

• Çarpma (Tabanlar Aynı): Üstler toplanır.
  am · an = am+n
• Bölme (Tabanlar Aynı): Üstler çıkarılır.
  am / an = am-n
• Üssün Üssü: Üstler çarpılır.
  (am)n = am · n

Püf Noktası (Kural Dışı!): Üslü sayılarda TOPLAMA ve ÇIKARMA için bir kural YOKTUR!

Sakın $2^3 + 2^4 = 2^7$ gibi bir hata yapma! Toplama yapmak için hem taban hem üs aynı olmalıdır (Elma toplama).

2. Ünite: Üslü İfadeler Kazanım: M.8.1.2.2 (Uygulama)

Denk İfadeler (10’un Kuvvetleri Dengesi)

Bir sayıyı a × 10n şeklinde yazarken katsayı ile üs arasında ters orantı vardır.

Püf Noktası (Terazi Kuralı):

Dengeyi koru!

• Katsayıyı büyütürsen (örn: 0.5 → 5), denge için üssü azaltman gerekir.
• Katsayıyı küçültürsen (örn: 500 → 5), denge için üssü arttırman gerekir.

Örnek: 4500 × 10⁵
(Katsayıyı 4.5’e küçültelim, virgül 3 sola kaydı)
(Denge için üssü 3 arttırmalıyız: 5+3=8)
Sonuç: 4.5 × 10⁸ (Bu iki ifade birbirine denktir.)

2. Ünite: Üslü İfadeler Kazanım: M.8.1.2.3

Ondalık Gösterimleri Çözümleme

Sayıların her bir basamağını 10’un kuvveti olarak yazarız.

Örnek: 123.45

(1 × 10²) + (2 × 10¹) + (3 × 10⁰) + (4 × 10^-1) + (5 × 10^-2)

Püf Noktası (Basamak Sayısı Bulma)

Soru: 3.15 × 10⁸ kaç basamaklıdır?

1. Virgülü 3.15’ten 315’e getirmek için 2 basamak harcandı.
2. Üsten (8) bu 2’yi “vergi” gibi düş: 8 – 2 = 6 kaldı.
3. Yani sayı: 315’in yanına 6 tane sıfır (315.000.000)
4. Toplam basamak: (315’in 3 basamağı) + (6 tane sıfır) = 9 basamaklıdır.

2. Ünite: Üslü İfadeler Kazanım: M.8.1.2.4

Bilimsel Gösterim (Çok Büyük/Küçük Sayılar)

Sayıyı a × 10n şeklinde yazmaktır.

TEK KURAL: ‘a’ katsayısı 1 ≤ |a| < 10 arasında olmalıdır.

Püf Noktası (Virgül Park Etme):

Bilimsel gösterim, virgülü, 1’den 9’a kadar olan ilk rakamın hemen sağına park etmektir.

Örnek (Çok Büyük): 54.000.000
(Virgülü 5’in sağına park et → 5.4)
(Bunun için virgülü 7 basamak sola kaydırdık)
Sonuç: 5.4 × 10⁷

Örnek (Çok Küçük): 0.00021
(Virgülü 2’nin sağına park et → 2.1)
(Bunun için virgülü 4 basamak sağa kaydırdık)
Sonuç: 2.1 × 10^-4

3. Ünite: Kareköklü İfadeler Kazanım: M.8.1.3.1 / M.8.1.3.2

1. Tam Kare Sayılar

Bir tam sayının karesi olan sayılardır. (1, 4, 9, 16, 25…). Bu sayıların karekökleri tam sayıdır. (√81 = 9)

Püf Noktası: LGS için 1’den 20’ye kadar olan sayıların karelerini (1…400) ezbere bilmen şart!

2. Tam Kare Olmayanları Tahmin Etme

Soru: √30 hangi iki doğal sayı arasındadır?

1. √30’dan küçük en yakın tam kare: √25 = 5
2. √30’dan büyük en yakın tam kare: √36 = 6
3. Demek ki √30, 5 ile 6 arasındadır.

Püf Noktası (Hangisine Yakın?): 30, 25’e mi (5 fark) 36’ya mı (6 fark) yakın? 25’e daha yakın, yani 5’e daha yakındır.

3. Ünite: Kareköklü İfadeler Kazanım: M.8.1.3.3

a√b Şeklinde Yazma ve Kök İçine Alma

1. Kök Dışına Çıkarma (a√b)

Kök içindeki sayıyı, çarpanlarından biri tam kare olacak şekilde ayırırız.

Püf Noktası (Hız Kazan!): Bulabileceğin en büyük tam kare çarpanı bul!

Örnek: √72
Yavaş Yol: √72 = √(9·8) = 3√8 = 3√(4·2) = 6√2
Hızlı Yol: √72 = √(36·2) = 6√2 (Tek adımda!)

2. Katsayıyı Kök İçine Alma

Dışarıdaki katsayı, karesi alınarak içeri girer ve içerdekiyle çarpılır.

• 4√3 = √(4² · 3) = √(16 · 3) = √48

İpucu: Bu kural sıralama sorularının vazgeçilmezidir.

3. Ünite: Kareköklü İfadeler Kazanım: M.8.1.3.4

Kareköklü İfadelerde Çarpma ve Bölme

1. Çarpma İşlemi

Katsayılar kendi arasında (dışarıdakiler), kök içleri kendi arasında (içeridekiler) çarpılır.

• (a√b) · (c√d) = (a · c)√(b · d)
• Örnek: (3√2) · (5√7) = 15√14

Püf Noktası (Kökü Kaldırma):

Bir köklü sayıyı kendisiyle çarpmak, kökü kaldırır.
√5 · √5 = √25 = 5

2. Bölme İşlemi

Katsayılar kendi arasında, kök içleri kendi arasında bölünür.

• Örnek: (10√20) / (2√5) = (10/2)√(20/5) = 5√4 = 5 · 2 = 10

3. Ünite: Kareköklü İfadeler Kazanım: M.8.1.3.5

Kareköklü İfadelerde Toplama ve Çıkarma

Altın Kural: Elma Toplama!

SADECE ve SADECE kök içleri aynı olan kareköklü ifadeler toplanıp çıkarılabilir.

• a√b + c√b = (a+c)√b
• Örnek: 7√3 + 4√3 = (7+4)√3 = 11√3

EN BÜYÜK TUZAK! (SAKIN YAPMA!):

√A + √B ≠ √(A+B)

Kanıt: √9 + √16 = 3 + 4 = 7
Ama √(9+16) = √25 = 5 (Eşit değil!)

Püf Noktası (Makyajlı Sorular):

Soru: √12 + √75 = ?

Hemen “Kök içleri farklı, toplanmaz” deme! Önce a√b yap.

• √12 = √(4 · 3) = 2√3
• √75 = √(25 · 3) = 5√3

Soru aslında 2√3 + 5√3 imiş! Cevap: 7√3