8.Sınıf Matematik Üçgende Açı-Kenar İlişkisi
Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları
Bir üçgende açılar ile kenar uzunlukları arasında harika bir denge vardır. Bu derste, büyük açının karşısında neden uzun kenarın bulunduğunu ve iç içe geçmiş üçgenlerde en uzun kenarı nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.
💡 Mantık Köşesi
Bir kapıyı düşünün. Kapıyı ne kadar çok açarsanız (açı büyürse), kapının ucu ile kasa arasındaki mesafe (kenar) o kadar büyür. Üçgenlerde de kural aynıdır: Büyük açı, büyük kenarı görür!
1. Temel Kural: Büyük Açı Karşısında Uzun Kenar
Bir üçgende ölçüsü en büyük olan açının karşısındaki kenar en uzun kenardır. Ölçüsü en küçük olan açının karşısındaki kenar ise en kısa kenardır.
Açıların Sıralaması: m(\(\widehat{A}\)) > m(\(\widehat{B}\)) > m(\(\widehat{C}\))
ise
Kenarların Sıralaması: a > b > c
Alıştırma Sorusu
Bir ABC üçgeninde m(\(\widehat{A}\)) = 70° ve m(\(\widehat{B}\)) = 50°’dir. Bu üçgenin kenar uzunluklarını (|AB|, |AC|, |BC|) küçükten büyüğe sıralayınız.
Çözüm:
1. Önce verilmeyen C açısını bulalım: 180° – (70° + 50°) = 60°.
2. Açıları küçükten büyüğe sıralayalım: m(\(\widehat{B}\)) < m(\(\widehat{C}\)) < m(\(\widehat{A}\)) (Yani 50° < 60° < 70°).
3. B açısının karşısında |AC|, C’nin karşısında |AB|, A’nın karşısında |BC| vardır.
Sıralama: |AC| < |AB| < |BC|
2. Dik ve Geniş Açılı Üçgenlerde Durum
Bir üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu için, bir üçgende sadece bir tane dik (90°) veya geniş (>90°) açı bulunabilir.
- Dik Açılı Üçgende: En büyük açı 90° olduğundan, en uzun kenar daima 90°’nin karşısındaki Hipotenüs‘tür.
- Geniş Açılı Üçgende: En büyük açı geniş açı olduğundan, en uzun kenar daima geniş açının karşısındaki kenardır.
Alıştırma Sorusu
Geniş açılı bir KLM üçgeninde m(\(\widehat{L}\)) = 110°’dir. Bu üçgenin en kısa kenarı |KM| olabilir mi?
Çözüm:
Hayır, olamaz.
L açısı 110° ile bu üçgendeki en büyük açıdır. Dolayısıyla L açısının karşısındaki |KM| kenarı üçgenin en uzun kenarı olmak zorundadır.
3. Birden Fazla Üçgende En Uzun Kenarı Bulma
İç içe geçmiş veya bir kenarı ortak olan birden fazla üçgenin bulunduğu şekillerde en uzun/kısa kenarı bulmak için oklama yöntemi kullanılır. Her üçgenin içindeki en büyük açıdan karşısındaki kenara ok çizilir. Okların takip ettiği son yol, şeklin en uzun kenarıdır.
Birlikte Çözelim
Yukarıdaki şekilde ADC üçgeninin en uzun kenarı |AC|’dir. Ancak ABC üçgenine geçtiğimizde 70°’lik açı, |AC|’yi gören 60°’lik açıdan daha büyüktür. Bu yüzden tüm şeklin en uzun kenarı |BC| olmuştur.
LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular
LGS Benzeri Soru 1: Eşitsizlik ve Açı Bağıntısı
Çeşitkenar bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları c < a < b şeklinde sıralanmıştır. A açısının ölçüsü 65° olduğuna göre, C açısının ölçüsünün alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
A) 64° B) 63° C) 50° D) 49°
Çözüm:
1. Kenar sıralaması c < a < b ise, açı sıralaması m(\(\widehat{C}\)) < m(\(\widehat{A}\)) < m(\(\widehat{B}\)) olmalıdır.
2. m(\(\widehat{A}\)) = 65° olarak verilmiş.
3. Bu durumda m(\(\widehat{C}\)) < 65° olmalıdır.
4. Çeşitkenar üçgen olduğu için açılar eşit olamaz. C’nin alabileceği en büyük tam sayı değeri 64°’dir.
(B açısı da 180 – (65+64) = 51° olmaz, çünkü B açısı 65’ten büyük olmalı! Eğer C = 64 olursa, B = 51 olur ve B > A kuralı bozulur.)
Dikkat! 65 + B + C = 180 ise B + C = 115°.
C < 65 < B şartını sağlaması lazım.
C’ye 49° verelim: B = 115 – 49 = 66°. (49 < 65 < 66) Şart sağlandı!
C’ye 50° verelim: B = 115 – 50 = 65°. Çeşitkenar kuralı bozuldu (A = B oldu).
Bu yüzden C en fazla 49° olabilir.
Doğru Cevap: D
Bursluluk Benzeri Soru 1: Şekil Yorumlama
Bir KLM üçgeninde |KL| = 7 cm, |LM| = 8 cm ve |KM| = 10 cm’dir. Bu üçgenin açılarının doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?
A) m(\(\widehat{K}\)) > m(\(\widehat{L}\)) > m(\(\widehat{M}\))
B) m(\(\widehat{L}\)) > m(\(\widehat{K}\)) > m(\(\widehat{M}\))
C) m(\(\widehat{M}\)) > m(\(\widehat{L}\)) > m(\(\widehat{K}\))
D) m(\(\widehat{L}\)) > m(\(\widehat{M}\)) > m(\(\widehat{K}\))
Çözüm:
Kenarları küçükten büyüğe (veya büyükten küçüğe) sıralayalım:
|KM| (10 cm) > |LM| (8 cm) > |KL| (7 cm).
|KM|’nin karşısında L açısı vardır.
|LM|’nin karşısında K açısı vardır.
|KL|’nin karşısında M açısı vardır.
Buna göre açı sıralaması: m(\(\widehat{L}\)) > m(\(\widehat{K}\)) > m(\(\widehat{M}\)) olur.
Doğru Cevap: B
Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?
Açı ve kenar ilişkisini anladıysan, şimdi bol oklamalı ve dikkat gerektiren sorular seni bekliyor!
