Ondalık Karekökler ve Gerçek Sayılar

Bu interaktif sayfa ile “Ondalık Sayıların Karekökleri” ve “Gerçek Sayılar” konularını eğlenceli bir şekilde öğreneceksiniz.

💡 Biliyor muydunuz?

Sonsuza kadar devretmeden devam eden meşhur Pi (π) sayısı, bir çemberin çevresinin çapına bölünmesiyle elde edilir ve irrasyonel bir sayıdır. Bu yüzden Pi sayısını kesir olarak ifade edemeyiz!

1. Ondalık Sayıların Karekökü

❗ Ondalık bir sayının karekökünü almak için en kolay yol, onu önce rasyonel sayıya (kesre) çevirmektir. Sonra payın ve paydanın karekökü ayrı ayrı alınır.

Genel Kural: \(\sqrt{a,bc} = \sqrt{\frac{abc}{100}} = \frac{\sqrt{abc}}{\sqrt{100}}\)

Önemli Kural: Kök içinde devirli ondalık sayı, kesir biçimine çevrildikten sonra karekökü alınır.

Örnekler

  1. Temel Örnek: \(\sqrt{0,25} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0,5\)
  2. Virgülden Sonra Çok Basamak: \(\sqrt{0,0081} = \sqrt{\frac{81}{10000}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{10000}} = \frac{9}{100} = 0,09\)
  3. İşlemli Örnek: \(\sqrt{1,44} + \sqrt{0,09} = \sqrt{\frac{144}{100}} + \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{12}{10} + \frac{3}{10} = \frac{15}{10} = 1,5\)

Alıştırma Sorusu

\(\sqrt{0,04} + \sqrt{1,69} – \sqrt{0,01}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:
Önce her terimin karekökünü alalım:
\(\sqrt{0,04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{2}{10} = 0,2\)
\(\sqrt{1,69} = \sqrt{\frac{169}{100}} = \frac{13}{10} = 1,3\)
\(\sqrt{0,01} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} = 0,1\)
Şimdi işlemi yapalım: \(0,2 + 1,3 – 0,1 = 1,5 – 0,1 = 1,4\)
Sonuç: 1,4

2. Gerçek (Reel) Sayılar

Sayıları farklı kümeler altında inceleyebiliriz. İki ana grubumuz var: Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar. Bu iki kümenin birleşimi ise bize Gerçek Sayıları(R) verir. Gerçek Sayılar (R):

  • Hem Rasyonel Sayılar(Q) hem de İrrasyonel Sayılar(I) kümesinin birleşimi ile Gerçek(Reel) Sayılar (R) kümesi oluşur. Q U I = R

Rasyonel Sayılar (Q)

İki tam sayının oranı (kesir) şeklinde yazılabilen sayılardır. Payda 0 olamaz. Doğal sayılar, tam sayılar, ondalık sayılar ve karekökten tam çıkan sayılar rasyoneldir.

Örnekler: \(7 = \frac{7}{1}\), \(\frac{3}{5}\), \(0,8 = \frac{8}{10}\), \(\sqrt{49} = 7\)

İrrasyonel Sayılar (I)

İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılardır. Genellikle virgülden sonra düzensiz olarak sonsuza dek devam ederler ve karekökten tam çıkamazlar.

Örnekler: \(\pi \approx 3,14159…\), \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{11}\)

Alıştırma Sorusu

\(\sqrt{64}\), \(-5\), \(\frac{0}{3}\), \(\sqrt{10}\), \(2, \overline{3}\) sayılarından hangileri rasyonel, hangileri irrasyoneldir?

Çözüm:
Rasyonel Sayılar (Q):

  • \(\sqrt{64} = 8\) (Tam sayı olduğu için rasyoneldir)
  • \(-5\) (Tam sayı olduğu için rasyoneldir)
  • \(\frac{0}{3} = 0\) (Rasyoneldir)
  • \(2, \overline{3}\) (Devirli ondalık sayılar rasyoneldir)
İrrasyonel Sayılar (I):
  • \(\sqrt{10}\) (Kök dışına tam çıkamadığı için irrasyoneldir)

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Geometri ve Karekök

Kenar uzunlukları \(\sqrt{1,96}\) m ve \(\sqrt{3,24}\) m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin çevresine 2 sıra tel çekilecektir. Bu iş için kaç metre tel gerekir?

A) 6,4    B) 12,8    C) 16    D) 3,2

Çözüm:
1. Kenar uzunluklarını bulalım:
Kısa kenar: \(\sqrt{1,96} = \sqrt{\frac{196}{100}} = \frac{14}{10} = 1,4\) m
Uzun kenar: \(\sqrt{3,24} = \sqrt{\frac{324}{100}} = \frac{18}{10} = 1,8\) m
2. Dikdörtgenin çevresini hesaplayalım:
Çevre = 2 \(\cdot\) (Kısa Kenar + Uzun Kenar) = 2 \(\cdot\) (1,4 + 1,8) = 2 \(\cdot\) (3,2) = 6,4 m
3. İki sıra tel için gereken uzunluğu bulalım:
Toplam Tel = 2 \(\cdot\) Çevre = 2 \(\cdot\) 6,4 = 12,8 m
Doğru Cevap: B

LGS Benzeri Soru 2: Sayı Doğrusu ve Sıralama

Sayı doğrusu üzerinde \(\sqrt{2,89}\) ile \(\sqrt{15}\) sayıları arasında kaç tane tam sayı bulunur?

A) 1    B) 2    C) 3    D) 4

Çözüm:
1. \(\sqrt{2,89}\) sayısının değerini bulalım:
\(\sqrt{2,89} = \sqrt{\frac{289}{100}} = \frac{17}{10} = 1,7\)
2. \(\sqrt{15}\) sayısının hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulalım:
\(\sqrt{9} < \sqrt{15} < \sqrt{16}\), yani \(3 < \sqrt{15} < 4\).
3. Sayı doğrusunda 1,7 ile yaklaşık 3,… arasındaki tam sayıları bulalım:
Bu aralıktaki tam sayılar 2 ve 3’tür.
Toplamda 2 tane tam sayı vardır.
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 1: Sayı Kümeleri

\(a = \sqrt{0,09}\), \(b = \pi\), \(c = \frac{12}{4}\) sayıları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) a irrasyonel, b rasyonel, c rasyonel
B) a rasyonel, b irrasyonel, c rasyonel
C) a irrasyonel, b irrasyonel, c irrasyonel
D) a rasyonel, b rasyonel, c irrasyonel

Çözüm:
Sayıları inceleyelim:
\(a = \sqrt{0,09} = 0,3 = \frac{3}{10}\). Bu bir Rasyonel Sayıdır.
\(b = \pi\). Pi sayısı, virgülden sonrası düzensiz sonsuza gittiği için bir İrrasyonel Sayıdır.
\(c = \frac{12}{4} = 3\). Bu bir tam sayıdır ve her tam sayı aynı zamanda Rasyonel Sayıdır.
Dolayısıyla a rasyonel, b irrasyonel ve c rasyoneldir.
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 2: Dört İşlem

\(\frac{\sqrt{1,21} + \sqrt{0,25}}{\sqrt{0,04}}\) işleminin sonucu kaçtır?

A) 4    B) 6    C) 8    D) 10

Çözüm:
1. Pay ve paydadaki sayıların değerlerini bulalım:
\(\sqrt{1,21} = 1,1\)
\(\sqrt{0,25} = 0,5\)
\(\sqrt{0,04} = 0,2\)
2. İşlemi yapalım:
\(\frac{1,1 + 0,5}{0,2} = \frac{1,6}{0,2}\)
3. Virgüllerden kurtulmak için kesri 10 ile genişletelim:
\(\frac{1,6 \cdot 10}{0,2 \cdot 10} = \frac{16}{2} = 8\)
Doğru Cevap: C

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!