Çarpanlar ve Asal Çarpanlar

Bu interaktif sayfa ile “Çarpanlar ve Asal Çarpanlar” konusunu eğlenceli bir şekilde öğreneceksiniz.

💡 Biliyor muydunuz?

İnternet güvenliğinin temelini oluşturan şifreleme algoritmaları, çok büyük asal sayıların çarpımının çarpanlarına ayrılmasının zorluğuna dayanır!

1. Pozitif Tam Sayıların Çarpanları

❗ Bir pozitif tam sayıyı kalansız olarak bölebilen pozitif tam sayılara o sayının çarpanları (veya bölenleri) denir.

Adım Adım Çarpan Bulma (Örnek: 24)

  1. 1 ile başlayın: 1 . 24 = 24. Böylece 1 ve 24‘ü bulduk.
  2. Sıradaki sayı 2: 2 . 12 = 24. Böylece 2 ve 12‘yi bulduk.
  3. Sıradaki sayı 3: 3 . 8 = 24. Böylece 3 ve 8‘i bulduk.
  4. Sıradaki sayı 4: 4 . 6 = 24. Böylece 4 ve 6‘yı bulduk.
24’ün Çarpanları: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

2. 💎 Asal Sayılar

1’den büyük, kendisinden ve 1’den başka pozitif tam sayı böleni olmayan sayılara asal sayı denir.

  • En küçük asal sayı 2‘dir ve çift olan tek asal sayıdır.
  • ⚠️ **Unutma:** 1, asal sayı değildir!

Eratosten Kalburu Yöntemi

Antik Yunan matematikçi Eratosthenes, asal sayıları bulmak için bu zekice yöntemi geliştirmiştir.

110’a Kadar Olan Asal Sayılar

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109

3. 🧮 Asal Çarpanlara Ayırma

Bölen Listesi (Asal Çarpan Algoritması)

Örnek: 90 sayısını ayıralım

90 | 2
45 | 3
15 | 3
 5 | 5
 1 |

Sonuç: 90 = 2 . 3² . 5¹

Çarpan Ağacı Yöntemi

Örnek: 60 sayısını ayıralım

      60
     /  \
    2    30
        /  \
       2    15
           /  \
          3     5

Sonuç: 60 = 2² . 3¹ . 5¹

Sıra Sende: Kendi Sayını Dene!

Geçmiş Yıllarda Çıkmış Soru Tipleri (LGS Benzeri)

Soru 1: Çarpan Sayısı ve Şifreleme

Bir bilgisayar programı, girilen sayının pozitif tam sayı çarpanlarının sayısını şifre olarak belirlemektedir. Örneğin 10 girildiğinde çarpanları (1, 2, 5, 10) olduğu için şifre 4’tür. Buna göre, aşağıdaki sayılardan hangisi girildiğinde şifre diğerlerinden farklı olur?

A) 24    B) 30    C) 40    D) 36

Çözüm: Her sayının çarpan sayısını bulalım.
A) 24’ün çarpanları {1,2,3,4,6,8,12,24} -> 8 tane.
B) 30’un çarpanları {1,2,3,5,6,10,15,30} -> 8 tane.
C) 40’ın çarpanları {1,2,4,5,8,10,20,40} -> 8 tane.
D) 36’nın çarpanları {1,2,3,4,6,9,12,18,36} -> 9 tane.
⚠️ Şifresi farklı olan 36’dır. Doğru Cevap: D

Soru 2: Asal Çarpanlar ve Aralık Bulma

Aklımda tuttuğum sayının asal çarpanları sadece 2, 3 ve 5’tir. Bu sayı 110 ile 140 arasında olduğuna göre, aklımdaki sayı kaçtır?

A) 115    B) 120    C) 125    D) 135

Çözüm: Sayı 2, 3 ve 5’in katı olmalı, yani 2.3.5 = 30’un katı olmalı. 110 ile 140 arasındaki 30’un katlarını düşünelim: 30, 60, 90, 120, 150… Bu aralığa uyan tek sayı 120’dir. Doğru Cevap: B

Soru 3: Çarpanlar ve Geometri

Alanı 36 m² olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin kenar uzunlukları metre cinsinden tam sayıdır. Bu bahçenin etrafına tek sıra tel çekilecektir. Telin metresi 5 TL olduğuna göre, bu işin maliyeti aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 120 TL    B) 130 TL    C) 150 TL    D) 180 TL

Çözüm: Çarpımları 36 olan kenar çiftlerini bulalım: (1,36), (2,18), (3,12), (4,9), (6,6). Çevrelerini hesaplayalım: 2(1+36)=74m, 2(2+18)=40m, 2(3+12)=30m, 2(4+9)=26m, 2(6+6)=24m. Maliyetler: 74×5=370 TL, 40×5=200 TL, 30×5=150 TL, 26×5=130 TL, 24×5=120 TL. Şıklarda olmayan maliyet 180 TL’dir. Doğru Cevap: D

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!