Katsayıyı Kök İçine Alma ve Sıralama

Bu interaktif sayfa ile kareköklü sayıların katsayılarını kök içine almayı ve bu sayıları sıralamayı öğreneceksiniz.

💡 Biliyor muydunuz?

Kareköklü sayıları sıralama, mühendislerin farklı malzemelerin dayanıklılığını karşılaştırması gibi gerçek dünya problemlerinde kullanılır!

1. Katsayıyı Kök İçine Alma

❗ Katsayıyı karekök içine alırken, katsayının karesi alınarak (kendisi ile çarpılarak) kök içindeki sayı ile çarpılır ve sonuç kök içine yazılır.

$a \ge 0$ olmak üzere $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$

Örnek: $2\sqrt{3}$ sayısında katsayıyı kök içine alalım.

$2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$

⚠️ Unutma: Karekök dışındaki sayı negatif ise, eksi işareti kök dışında bırakılır. Örnek: $-2\sqrt{5} = -\sqrt{2^2 \cdot 5} = -\sqrt{20}$

Alıştırma Soruları

Soru 1: $7\sqrt{2}$ sayısında katsayıyı kök içine alınız.

Çözüm: $7\sqrt{2} = \sqrt{7^2 \cdot 2} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{98}$



Soru 2: $4\sqrt{5}$ sayısında katsayıyı kök içine alınız.

Çözüm: $4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$

2. Kareköklü Sayılarda Sıralama

❗ Kareköklü sayılarda sıralama yapmak için, tüm katsayılar kök içine alınır. Daha sonra kök içindeki sayılar karşılaştırılır. Kök içi büyük olan sayı daha büyüktür.

Örnek: $3\sqrt{5}$, $4\sqrt{2}$ ve $2\sqrt{11}$ sayılarını karşılaştıralım.

  1. Tüm katsayıları kök içine alalım:
    • $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$
    • $4\sqrt{2} = \sqrt{4^2 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}$
    • $2\sqrt{11} = \sqrt{2^2 \cdot 11} = \sqrt{4 \cdot 11} = \sqrt{44}$
  2. Şimdi kök içindeki sayıları sıralayalım: $32 < 44 < 45$
  3. Bu sıralamaya göre orijinal sayıları yazalım: $4\sqrt{2} < 2\sqrt{11} < 3\sqrt{5}$

Alıştırma Soruları

Soru 1: $a=5\sqrt{2}$, $b=2\sqrt{13}$ ve $c=4\sqrt{3}$ sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm:
$a = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$
$b = \sqrt{2^2 \cdot 13} = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{52}$
$c = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$
Kök içlerine göre sıralama: $\sqrt{48} < \sqrt{50} < \sqrt{52}$ yani $c < a < b$.



Soru 2: $2\sqrt{5} < A < 9\sqrt{3}$ eşitsizliğinde A bir tam sayı ise alabileceği kaç farklı değer vardır?

Çözüm:
Önce sınırları kök içine alalım: $2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$ ve $9\sqrt{3} = \sqrt{81 \cdot 3} = \sqrt{243}$.
Eşitsizliğimiz $\sqrt{20} < A < \sqrt{243}$ oldu.
A’nın bir tam sayı olduğunu biliyoruz. $\sqrt{16}=4$ ve $\sqrt{25}=5$ olduğundan $\sqrt{20}$ yaklaşık 4,4’tür. $\sqrt{225}=15$ ve $\sqrt{256}=16$ olduğundan $\sqrt{243}$ yaklaşık 15,5’tir.
Bu aralıktaki tam sayılar 5, 6, …, 15’tir.
Terim sayısı formülünden: (Son Terim – İlk Terim) + 1 = (15 – 5) + 1 = 11 tane farklı değer vardır.

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Tüm konuları gözden geçirdiysen, şimdi kendini deneme zamanı!