1. Dereceden 1 Bilinmeyenli Eşitsizlikler

Bu interaktif sayfa ile eşitlik ile eşitsizlik arasındaki farkı, eşitsizlik sembollerini, sayı doğrusunda gösterimi ve eşitsizliklerin çözüm yöntemlerini öğreneceksin.

💡 Biliyor muydunuz?

Günlük hayatta “Hız sınırı 90 km/s’dir” dediğimizde aslında bir eşitsizlik kullanırız (Hız \(\leq\) 90). Mühendislikten ekonomiye kadar her yerde, “en az”, “en fazla” gibi kavramlar eşitsizliklerle modellenir.

1. Eşitsizlik Sembolleri ve İfade Etme

Büyüklük veya küçüklük ilişkilerini belirtmek için aşağıdaki sembolleri kullanırız:

  • \( < \) : Küçüktür (Örnek: \( x < 5 \) )
  • \( > \) : Büyüktür (Örnek: \( y > 7 \) )
  • \( \leq \) : Küçük veya Eşittir (En fazla) (Örnek: \( a \leq 10 \) )
  • \( \geq \) : Büyük veya Eşittir (En az) (Örnek: \( b \geq 18 \) )

Alıştırma Sorusu

“Hangi sayının 3 fazlası, 12’den büyüktür?” cümlesinin matematiksel ifadesi nedir?

Çözüm:
Sayımıza \( x \) diyelim.
“3 fazlası” : \( x + 3 \)
“12’den büyüktür” : \( > 12 \)
Eşitsizlik: \( x + 3 > 12 \)

2. Sayı Doğrusunda Gösterim

Eşitsizlikleri sayı doğrusunda gösterirken dikkat etmemiz gereken en önemli kural “dahillik” durumudur.

  • \( < \) ve \( > \) sembollerinde sınır dahil değildir. Sayının içi BOŞ daire ile gösterilir (○).
  • \( \leq \) ve \( \geq \) sembollerinde sınır dahildir. Sayının içi DOLU daire ile gösterilir (●).

Örnek

\( x \geq -2 \) eşitsizliğini gösterelim:

Sayı doğrusunda -2 noktasını buluruz. “Büyük veya eşit” dediği için içini doldururuz ve sağ tarafa (büyük sayılara) doğru ok çizeriz.

Alıştırma Sorusu

\( x < 5 \) ifadesi sayı doğrusunda nasıl gösterilir?

Çözüm:
1. Sayı doğrusunda 5 noktası bulunur.
2. Eşitlik olmadığı için (<) 5'in üzerine içi boş bir daire çizilir.
3. Küçüktür dediği için sol tarafa (negatif yöne) doğru taranır.

3. Eşitsizliklerin Çözümü

Eşitsizlikleri çözerken denklem çözme kurallarını uygularız. Ancak çok önemli bir fark vardır!

⚠️ DİKKAT: Eşitsizliğin her iki tarafı NEGATİF bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizlik YÖN DEĞİŞTİRİR!

Örnek (Normal Çözüm)

\( 3x – 2 > 10 \)
\( 3x > 12 \)
\( x > 4 \) (Yön değişmedi)

Örnek (Yön Değiştiren Durum)

\( -2x \leq 10 \)
Her iki tarafı -2’ye bölelim.
\( x \geq -5 \) (Küçük eşittir, Büyük eşittir oldu!)

Alıştırma Sorusu

\( 5 – x > 8 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:
1. Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler bir tarafa: \( -x > 8 – 5 \)
2. \( -x > 3 \)
3. x’i yalnız bırakmak için her iki tarafı -1 ile çarpalım veya bölelim. Yön değişir!
Sonuç: \( x < -3 \)

LGS ve Bursluluk Benzeri Sorular

LGS Benzeri Soru 1: Bütçe Problemi

Ali’nin kumbarasında 250 TL vardır. Ali, tanesi 40 TL olan kitaplardan en fazla kaç tane alabilir ki geriye en az 30 TL parası kalsın?

A) 4    B) 5    C) 6    D) 7

Çözüm:
Kitap sayısına \( x \) diyelim.
Harcama: \( 40x \)
Kalan para: \( 250 – 40x \)
Kalan paranın en az 30 olması: \( 250 – 40x \geq 30 \)
\( 250 – 30 \geq 40x \)
\( 220 \geq 40x \)
\( 5,5 \geq x \) (veya \( x \leq 5,5 \))
Kitap sayısı tam sayı olmalı, 5,5’ten küçük en büyük tam sayı 5‘tir.
Doğru Cevap: B

LGS Benzeri Soru 2: Geometri ve Eşitsizlik

Kısa kenarı 6 cm olan bir dikdörtgenin çevresinin 40 cm’den küçük olduğu biliniyor. Buna göre uzun kenarın (cm cinsinden) alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 12    B) 13    C) 14    D) 15

Çözüm:
Uzun kenara \( x \) diyelim.
Çevre: \( 2 \cdot (6 + x) \)
Eşitsizlik: \( 2 \cdot (6 + x) < 40 \)
Her iki tarafı 2’ye bölelim: \( 6 + x < 20 \)
\( x < 14 \)
14’ten küçük en büyük tam sayı 13‘tür.
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 1: Çözüm Kümesi

\( 2x – 7 \leq 13 \) eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı değeri ile en büyük negatif tam sayı değerinin toplamı kaçtır?

A) 10    B) 9    C) -1    D) 8

Çözüm:
1. Eşitsizliği çözelim: \( 2x \leq 20 \) ise \( x \leq 10 \).
2. En büyük tam sayı değeri: 10.
3. En büyük negatif tam sayı değeri her zaman: -1‘dir.
4. Toplam: \( 10 + (-1) = 9 \).
Doğru Cevap: B

Bursluluk Benzeri Soru 2: İfade Çevirme

“Bir sayının 2 katının 5 eksiği, aynı sayının 4 fazlasından küçüktür.” cümlesine uygun eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?

A) \( 2x – 5 > x + 4 \)
B) \( 2x – 5 < x + 4 \)
C) \( 2(x – 5) < x + 4 \)
D) \( 2x + 5 < x - 4 \)

Çözüm:
Sayımız \( x \) olsun.
“2 katının 5 eksiği”: \( 2x – 5 \)
“Aynı sayının 4 fazlası”: \( x + 4 \)
“Küçüktür”: \( < \)
Birleştirince: \( 2x – 5 < x + 4 \)
Doğru Cevap: B

Bilgini Test Etmeye Hazır Mısın?

Eşitsizlikler konusunu anladıysan, şimdi kendini deneme zamanı!